Blobixx a écrit:
[quote=« guitar_man95 »]
tu ne dois pas « poser u0=.. ». On se donne une suite (un) de E, on veut montrer qu’elle est de cette forme, donc u0 et u1 existent « »« avant »« »" lambda et mu. Il faut que tu montres qu’il existe effectivement lambda et mu tels que u_0= \lambda + \mu et u_1= \lambda r_1 + \mu r_2, ce qui se fait bien 
On considère le système \begin{cases} u_0= \lambda + \mu \\ u_1= \lambda r_1 + \mu r_2 \end{cases} d’inconnues \lambda et \mu
Ce système à pour solution \begin{cases} \lambda= \frac{u_0r_2-u1}{r_2-r1} \mu \\ \mu= \frac{u_1-u_0r_1}{r_2-r_1} \end{cases} r_2\ne r_1
Donc \lambda et \mu existent.
[/quote]
Au fait lionel52, c’est juste maintenant la question 3) ?
c’est pas ultra complet mais bon ça va…
En gros fallait dire que : les suites du type a.r1^n + b.r2^n appartiennent à E.
montrer qu’il existe une suite (vn) de ce type valant u0 en 0 et u1 en 1.
Par unicité de la suite appartenant à E vérifiant ces conditions on a (un) égale à cette suite (vn) donc Un s’écrit bien sous la forme a.r1^n + b.r2^n
Très certainement au programme de notre première colle :
Calculer : \int_{-\pi}^{\pi} \cos^3 x \sin^2 x dx
Mais non faut pas linéariser…
$cos^3sin^2 = cos(1 - sin^2)sin^2 = cos.sin^2 - cos.sin^4$puis ça se fait tout seul
Ou alors simplement un argument de symétrie…
lineariser ça marche toujours,c’est comme le changement de variable tan(t/2) parfois ya mieux (cf règles de Bioche ) mais si celui là marche pas les autres non plus
un exo dans l’esprit du début de sup :
- Soit n > 2. Montrer que l’équation x^n + x^{n-1} = 1 admet une unique solution sur R^+ notée u_n
- Montrer que u_n est monotone, majorée et déterminer sa limite.
- Montrer enfin que u_n^{n-1} \to 1/2
parce que c’est souvent fait en début d’année ces trucs avec les sin^5 etc,..
C’est effectivement un exercice d’application directe de techniques trigonométriques usuelles (linéarisation ou autre…) et la trigo figure très rapidement dans les programmes de colles…
que vous disez alors de mon exo ??
x et y de IN tels que :
xy|x²+y²-x
montrer que x est un carré parfait
ou sont les experts ??
C’est vraiment pas difficile…
Edit : j’avais pas vu que c’était le topic pré MPSI sorry.
bon tu es pas en Ts pour donner ton avis s’il est facile ou difficile, mais je crois même les taupins de sup n’arriveront pas à le résoudre ..puisque c’est un exo tiré d’un livre de terminale .
Une solution n’utilisant que le lemme de Gauss :
Soit k un entier tel que x^2+y^2-x=kxy. Soit d le pgcd de x et y, et x'=\frac x d, y' = \frac y d, de telle sorte que x’ et y’ sont premiers entre eux. Alors dx'^2+dy'^2-x'=dkx'y'. Donc x' | (dky'+1-dx')x' = dy'^2, et ainsi x'|d car x’ et y’ sont premiers entre eux. Mais d |d(x'^2+y'^2-kx'y') = x'. Ainsi x' = d, d’où il s’en suit que x = d^2.
