Ok le temps que je mette ça au même dénominateur ^^
Comment on utilise latex ?
Petit tutoriel :
Déjà, tu vois le bouton « tex » au-dessus de l’espace où tu peux taper ton message ? Il fera apparaît des balises et il faudra écrire dedans.
Sinon, quelques commandes qui te serviront :
- Multiplication : \times
- Fraction : \frac{numérateur}{dénominateur}
- Exposant : a^b désigne a^b et a^{b+c} désigne a^{b+c}
- Somme : \sum_{k = début}^{fin}
- Intégrale : \int_{borne inférieure}^{borne supérieure} f(t)dt (ou autre variable…).
Bon S(n+1)=somme des k^3+(n+1)^3=(n(n+1)/2)²+(n+1)^3
=(n²(n+1)²+4(n+1)^3)/4
=(n+1)²(4(n+1)+n²)/4=(n+1)²(n+2)²/4 c’est à dire ((n+1)(n+2)/2)² donc ça marche pour n+1
Par contre j’ai une sale manie des fois quand j’arrive pas à factoriser de partir du résultat, de développer, de trouver pareil chez moi et de dire que ça colle.
Exemple pour prouver par récurrence que la somme des k² est (n(n+1)(2n+1)/6)
On doit arriver pour n+1 à ((n+1)(n+2)(2n+3)/6) or j’arrivais pas à factoriser mon développement, mais je savais que c’était pareil que le résultat.
Du coup a t-on le droit de dire « on doit arriver à ça qui est égale à tant, or mon résultat est identique, donc c’est bon » ?
Et mais du coup cette somme je pourrai la retrouver seul maintenant ? Youpi
En fait, tu peux mettre en évidence que ce sont des « n+1 » pour montrer que t’as bien P(n+1). Genre \displaystyle \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}.
Adolorante a écrit:
Petit tutoriel :
Déjà, tu vois le bouton « tex » au-dessus de l’espace où tu peux taper ton message ? Il fera apparaît des balises et il faudra écrire dedans.
Sinon, quelques commandes qui te serviront :
- Multiplication : \times
- Fraction : \frac{numérateur}{dénominateur}
- Exposant : a^b désigne a^b et a^{b+c} désigne a^{b+c}
- Somme : \sum_{k = début}^{fin}
- Intégrale : \int_{borne inférieure}^{borne supérieure} f(t)dt (ou autre variable…).
et d’autres choses qu’on peut trouver un peu partout sur internet:
http://i46.servimg.com/u/f46/13/46/18/61/13103110.png
A ce rythme ce topic va dépasser les « Exos sympas de MP(*) » avant la fin de la semaine 
Trouver une méthode pour calculer \sum_{k=0}^{n}{k^{p}} en fonction de n (pour p, n et k entiers naturels) en connaissant celle pour k, k^2, …, k^(p-1)
Gros indice:
Calculer de 2 manières différentes \sum_{k=0}^{n}(k+1)^{p+1}-k^{p+1}
Franchement sans l’indice c’est ardu 
On remarque que la somme se télescope donc on a \sum_{k=0}^n [(k+1)^{p+1}-k^{p+1}] =(n+1)^{p+1}
Mais d’après la formule du binome, on a également (k+1)^{p+1}-k^{p+1} = \sum_{i=0}^p {p+1 \choose i}k^i. D’où en notant S(n,p)=\sum_{k=0}^n k^p, \sum_{k=0}^n [(k+1)^{p+1}-k^{p+1}] = \sum_{i=0}^p {p+1 \choose i}\sum_{k=0}^n k^i = \sum_{i=0}^p {p+1 \choose i}S(n,i)
Donc:
(n+1)^{p+1}=\sum_{i=0}^p {p+1 \choose i}S(n,i) \Leftrightarrow S(n,p)=\frac{(n+1)^{p+1}-\sum_{i=0}^{p-1} {p+1 \choose i}S(n,i)}{p+1}
Montrer que pour tout entier naturel n non nul et tout réel x, on a E\left(\frac{E(nx)}{n}\right)=E(x) où E est la fonction partie entière.
Indice
Montrer deux inégalités
Dommage, je le voulais sans indice celui-là. 
Justement, c’était un exercice intéressant et plus difficile que les autres. Ca ressemble à mon premier DM de l’année.
Salut,
Désolé j’ai eu un problème de connexion.
J’ai une petite question : le raisonnement par récurrence est-il inhérent à un calcul de somme ou autre, où c’est juste un outils de démo comme un autre ?
Parce pour une somme j’ai l’impression qu’il est inutile, parce que pour la démontrer on utilise du cours, donc c’est pas un truc inconnu de tous…
Je retourne à mes exos, j’ai presque fini ma première feuille d’analyse.
Concernant le raisonnement par récurrence, il n’est pas utilisé que pour les sommes.
Exemple trivial : « Montrer par récurrence simple que pour tout entier naturel n, P(n) : « n < 2^n » est vraie. ».
En fait, quand je vois qu’il faut montrer pour tout n une propriété, je pense à la récurrence.
Alors après, il y a plusieurs types de récurrences. On peut mentionner la récurrence simple (celle que vous connaissez tous), la récurrence double (on montre P(0) et P(1), on suppose P(n) et P(n+1) pour montrer P(n+2)), la récurrence forte (on montre P(0), on suppose P(i) pour i compris entre 0 et n, puis on montre P(n+1)).
Pour la récurrence simple on utilise comme exemples pas mal de sommes (parce que c’est facile, et que vous êtes en TS, faut pas faire trop mal) mais ensuite, on s’y éloigne de plus en plus. 
Je connais les autres moyens de récurrence effectivement, on a fait des exos dessus.
Mais je veux dire calculer une somme est faisable autrement ?
Bien-sûr que oui. Pour la récurrence, il y a deux cas de figure :
- Soit on te donne le résultat, et là c’est très facile par récurrence
- Soit il faut conjecturer le résultat, puis le démontrer par récurrence.
Par exemple, un grand classique : calcule S_n = \displaystyle \sum_{k = 0}^n {n \choose k}. Ici, la récurrence est adaptée avec une formule, mais on souhaite le calculer sans (et éventuellement avec).
Indice :
Penser à un grand physicien qui a reçu une pomme sur la tête…
Binome de Newton a tout hasard ?
Parfaitement. 
Sinon pour arrêter d’y aller « à tout hasard » il y a quelques trucs, par exemple : si tu dois trouver une formule qui porte pour tout n, teste avec plusieurs exemples de n… C’est vrai d’une manière générale.
Ca m’énerve je refais mes exercices, et à chaque fois qu’on demande de montrer par récurrence je trouve pas, je suis toujours avec des raisonnements directs alors qu’en fait y’a pleins d’astuces. Je trouve jamais d’idées 
Dites, la limite de Un+1 c’est bien la même limite que Un ?
Donc si j’ai une formule de récurrence Un+1=kUn je peux dire que leur limite c’est l=kl ?
Oui, mais il faut avoir montré avant que la suite converge
Voici l’exercice que m’a rappelé la question de jaab92:
Soit S\in\mathbb{N}^*. Comment écrire S comme somme d’entiers positifs tel que le produit de ces entiers soit maximal?
Pourquoi montrer qu’elle converge si on peut avoir la limite ?
Tenez j’ai la dernière question de ma feuille que je comprends pas j’aimerais de l’aide (même si j’ai la réponse)
noelshack.com/2012-26-134114 … G_0196.jpg
Je comprends pas comment encadrer la racine, en gros faut que vn et un soient inférieur à 10^-9 ?
En tout cas je trouve l’exo assez chaud.