Tu peux dire que un+1 à la même limite que un si et seulement si tu as prouvé qu’elle converge (trouver une limite est bien sûr une preuve de convergence).
Je comprends pas là, d’ailleurs dans notre cours on détermine la limite sans prouver qu’elle converge, normalement tu peux voir sur la feuille c’est la question3) de l’exo 2.
Là tu supposes qu’elle converge, donc pour cette question, elle converge.
Ahhhh
Au fait si on doit montrer une inégalité impliquant des x et n, on doit prouver que ça marche pour x et pour n ?
Parce que je vois pas comment faire ça par récurrence 
EDIT : j’ai prouvé que pour les n mais je trouve ça bizarre, parce que qui dit que ça marche pour tout x ?
Ah je crois comprendre. En fait on sait que la propriété de base est vrai pour les x, mais on cherche à savoir ce qu’il en est si on rajoute des n ?
Par exemple on sait que pour tout x de IR x>x-1, mais on sait pas si x^n>x-1 d’où l’interêt de récurrer 
Bah c’est le principe de fixer une variable (ça a été dit avant je crois), tu prends x quelconque fixé et tu montres que ça marche pour tout n. Comme x est quelconque, ça veut dire que quel que soit le x que tu choisis, ça marchera pour tout n donc ça marche pour tout n et tout x 
Je comprends pas trop ton raisonnement, en revanche je pensais le mien plus adapté pour le coup
KGD : c’était pas contre toi reviens !!! 
Oula j’étais juste afk, pas vexé 
mais c’était quoi ton raisonnement ?
Edit: Ah nan j’ai pas vu que t’avais édité
Bah en gros on sait que pour x ça marche, donc on rajoute les n et on se demande alors si ça marche pour n.
Parce que suivant ton exemple, d’après ce que je comprendre on peut très bien montrer que x^(2n)<x pour tout n alors que x²<x est faux.
Pour moi faut montrer que c’est valable pour x, et après on joue avec les n.
Bon je pose quelques questions et je pars faire une pause :
Concernant les variations d’une suite : si on demande de le prouver par récurrence, je dois conjecturer avant ? Genre je dis u0<u1 donc on peut conjecturer Un+1>un ? Parce que vous dites qu’on doit toujours partir de ce qu’on connait, mais si on se goure et qu’on dit que un>un+1 ça fausse tout.
J’aimerais savoir pour l’encadrement de racine de 2 (cf la dernière page sans doute)
Si j’ai une relation Un+1=(4/3)Un+(1/3)Un-1 comment je peux faire pour récurrer ? Parce que logiquement il suffirait de dire que P(0) est vraie, que P(k) entraine P(k+1) donc c’est gagné, et pourtant dans mon cours ils disent qu’il faut dire que P(0) et P(1) sont vraies, et que P(k-1) et p(k) entrainent P(k+1), je comprends pas trop la logique.
Et puis enfin le coup des x et des n, que je sache où je vais la prochaine fois que je tombe dessus.
Bonne aprèm
Pour ta dernière question, c’est une récurrence double.
(P(0) et P(1) vraies, et \forall n \in \mathbb{N} P(n) et P(n+1) \Longrightarrow P(n+2)) \Longleftrightarrow (\forall n \in \mathbb{N} P(n) est vraie).
Mais je comprends pas en quoi c’est différent de la récurrence simple
Et surtout dans quel cas l’appliquer ? Si j’ai la relation que j’ai dis ça peut le faire avec récurrence simple ?
On est censé bien savoir ça en TS ?
La différence c’est que tu supposes deux crans (P(n) et P(n+1)) vrais pour démontrer un troisième.
Ca s’utilise en général dans les suites récurrentes d’ordre 2 (comme la tienne).
Je sais pas si c’est au programme de TS.
Si ça t’intéresse, tu peux aussi te renseigner sur la récurrence forte.
Finalement j’ai montré que un+2<un+1 donc c’est bon, mais j’ai encore du mal à voir comment j’aurais pu l’utiliser.
Ca se voit bien quand on doit faire ce genre de truc où y’a une situation particulière qu’il faut détecter ?
Ohhhhh je crois que je viens de détecter un truc là.
On me demande de prouver que pour tout n un=5-2(1/3)^n-1
J’initialise, je suppose et là j’ai qu’une seule manière d’exprimer Un+1, c’est en fonction de Un et de Un-1. Or on a supposé que Un est égal à ceux que j’ai écris mais on ne sait rien de Un-1, donc il serait judicieux de supposer la propriété vraie pour Un-1, ainsi je l’utilise et je trouve le résultat attendu non ?
Voilà c’est ça en fait, si tu essaies de montrer une double récurrence avec une récurrence simple, en principe à un moment tu te rendras compte qu’il te manque des hypothèses pour avancer
Niquel, comme quoi rien de mieux qu’un exemple.
Sinon tu as la réponse toi aux deux questions que j’ai posé autrement ?
Par exemple prouver qu’une expression avec des x et des n est vrai. En effet si on demande de prouver que x^(2n)<x est vrai, on pourrait s’occuper que des n et trouver la propriété vraie, mais quand est-il des x ? Ne doit-on pas prouver la propriété vraie pour les x et les n ?
Par exemple on dit que pour tout x de IR x²>x et on se demande après de savoir si la propriété est vraie en appliquant des n.
J’avais une autre question, c’est la dernière de mon exo 3 que j’ai mis sur l’autre page, j’ai besoin d’aide pour le comprendre.
EDIT
Death Cube K a écrit:
Par exemple prouver qu’une expression avec des x et des n est vrai. En effet si on demande de prouver que x^(2n)<x est vrai, on pourrait s’occuper que des n et trouver la propriété vraie, mais quand est-il des x ? Ne doit-on pas prouver la propriété vraie pour les x et les n ?
Alors x^{2n} < x c’est vrai que si x est strictement compris entre 0 et 1. Pour le montrer pour tout x de ]0;1[ tu peux effectivement le faire par récurrence, regarde. On fixe d’abord x \in ]0;1[ et on définit P(n): x^{2n} < x. On voit qu’on a x < 1 donc x^2 = x^{2\times 1} < x donc P(1) est vraie. Ensuite, on montre l’hérédité: x^2 < 1 \Rightarrow x^{2n+2} < x^{2n} < x par hypothèse donc P(n) \Rightarrow P(n+1) donc pour tout n non nul, on a x^{2n} < x. Puisque x est quelconque, la démonstration par récurrence s’applique à tout x de ]0;1[ donc on a bien prouvé ce qu’on voulait pour tout x et tout n.
Donc pour cette démonstration, on a fixé x et on a montré pour tout n, mais on aurait également pu le montrer en fixant n et en le montrant pour tout x:
On fixe n \in \mathbb{N}^* et on étudie rapidement f: x \mapsto x-x^{2n} sur [0;1].
Elle est dérivable de dérivée f'(x) = 1-2nx^{2n-1}. On a f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2nx^{2n-1} < 1 \Leftrightarrow x < \sqrt[2n-1]{\frac{1}{2n}} = \alpha Donc elle est strictement croissante sur [0;\alpha] et strictement décroissante sur [\alpha;1] or on a f(0)=f(1) = 0 donc pour tout x\in ]0;1[, on a f(x) > 0 \Leftrightarrow x^{2n} < x.
Je comprends pas là…
Donc pour la première il faut bien fixer les x pour lesquels la propriété est vraie ?
SI c’est ça alors dans chaque inégalité il faut prouver que ça marche pour tout x avant de s’attaquer aux n.
SI c’est ça alors dans chaque inégalité il faut prouver que ça marche pour tout x avant de s’attaquer aux n.
Non, non, si tu fixes x, alors en prouvant pour tout n, tu prouves en même temps que c’est vrai pour tout x et vice versa
Mouais bon j’essaierai de comprendre demain parce que là
J’ai fais une autre feuille d’exo là, je m’en suis bien sorti, allez encore une vingtaine.