Dohvakiin a écrit:
[quote=« compol »]
Voici l’exercice que m’a rappelé la question de jaab92:Soit S\in\mathbb{N}*. Comment écrire S comme somme d’enters positifs tel que le produit de ces entiers soit maximal?
Je veux bien un indice.
[/quote]
2k \leq 2^k
et
(2k+3)\leq 3.2^k
exo sympa
Strelok a écrit:
[quote=« Strelok »]
Les changements de variables ne sont pas au programme de TS non ?
Non, mais c’était dans l’ancien programme je crois.
[/quote]
Quel ancien programme ?
[/quote]
Je sais pas trop
Dans ce cas pourquoi on demande la continuité en 2 ? Parce que si f est indépendant de x=2 on n’a pas le droit d’y toucher alors
Exemple avec f : x \rightarrow \frac{sin(x)}{x} pour x \neq 0 et f(0) = 1. f est bien continue (parce que f(x) \rightarrow 1 quand x \rightarrow 0) alors qu’a priori ça n’était pas défini en 0. En revanche, si tu changes la valeur de f en 0 en mettant 2 au lieu de 1, ça ne sera plus continu.
Dohvakiin a écrit:
[quote=« Adolorante »]
Surtout qu’une bonne partie des gens qui répondent ici ne sont pas seulement de bons TS mais des TS+ (Dohvakiin et KGD postent également dans le topic « Exos sympas MPSI »).
Donc les exercices ne sont pas trop difficiles, après tout, je pense que pas mal de TS(+) qui passent ici connaissent la fonction arctan
Heu j’ai posté peut-être 2 fois chez vous ^^ mais merci quand même. Et je pense que Phylov ne voulait justement pas qu’on arctan mais qu’on fasse plutôt comme KGD.
[/quote]
Bien-sûr ! Mais en début de MPSI, t’intègres et le truc devient trivial.
Pour sinus, il suffit de réaliser la meilleure approximation affine en 0, ie de calculer la tangente en 0, et ça marche.
Ouais mais f n’est pas définie en 0 donc je vois mal comment calculer son image…
Dohvakiin a écrit:
Je sais pas trop
Non mais ok à ce rythme là dans les années 70 avec le bourbakisme ils faisaient de l’algèbre au collège.
Ils ne voyaient pas les endomorphismes en 2nd par hasard ?
Death Cube K a écrit:
Ouais mais f n’est pas définie en 0 donc je vois mal comment calculer son image…
Tu as déjà montré que f tendait vers 1 en 0. Ca suffit pour répondre.
Death Cube K a écrit:
Ouais mais f n’est pas définie en 0 donc je vois mal comment calculer son image…
Mais si elle est défini par f(0)=1.
1/ f(x)=sin(x)/x n’est pas définie en 0
2/ f(x)=sin(x)/x et f(0)=42 est définie en 0
3/ f(x)=sin(x)/x et f(0)=1 est définie en 0
4/ f(x)=sin(x)/x et f(0)=f(1) est définie en 0
Dans le cas 1 f peut être définie en 0 en la prolongeant par continuité en voyant que f(x)->1 en 0.
Dans le cas 2 f est définie mais pas continue
Dans le cas 3 f est définie ET continue
Dans le cas 4 f est définie mais pas continue
En gros si on demande si la fonction est continue, c’est si y’a moyen de boucher le trou ?
Autrement dit si une fonction est définie de R vers R sauf pour x=1 et x=2 faut prouver que leur images permettent de recoller la courbe ?
Mais du coup comment on sait quelle limite trouver si c’est le cas ?
Parce qu’ils disent qu’une fonction est continue en a si sa limite en a est f(a), mais si f n’est pas définie en a comment trouver son image…
Death Cube K a écrit:
En gros si on demande si la fonction est continue, c’est si y’a moyen de boucher le trou ?
Autrement dit si une fonction est définie de R vers R sauf pour x=1 et x=2 faut prouver que leur images permettent de recoller la courbe ?
Mais du coup comment on sait quelle limite trouver si c’est le cas ?
Parce qu’ils disent qu’une fonction est continue en a si sa limite en a est f(a), mais si f n’est pas définie en a comment trouver son image…
Ben c’est simple, si f(x) → b quand x tend vers a, alors la valeur « naturelle » de f pour a est b. Du coup, tu prolonges f par continuité en disant qu’en a ça vaut b. Et le résultat est continu. En revanche, si tu n’as pas de limite finie, tu ne pourras pas avoir de raccord continu.
Dohvakiin a écrit:
[quote=« Phylov »]
[quote=« Phylov »]
Je donne quelques uns plus accessibles:
-Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l’équation f(x+\frac{1}{2})=f(x) admet une solution sur [0;\frac{1}{2}]. Généralisation?
- Soient a et b deux complexes. Montrer que |a-b|=|1-\overline{a}b| si et seulement si |a| = 1 ou |b| = 1
- Montrer que pour tout x strictement positif : \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt
Personne?
[/quote]
KGD a déjà répondu aux 3
compol a écrit:
Voici l’exercice que m’a rappelé la question de jaab92:Soit S\in\mathbb{N}*. Comment écrire S comme somme d’entiers positifs tel que le produit de ces entiers soit maximal?
Je veux bien un indice
Strelok a écrit:
Les changements de variables ne sont pas au programme de TS non ?
Non, mais c’était dans l’ancien programme je crois.
[/quote]
Oui désolé j’avais pas vu.
Tout est bon. Par contre je cherchais une autre généralisation:
Avec les mêmes hypothèses, montrer que :
Pour tout entier naturel n non nul, il existe un réel a_{n} appartenant à [0;1-\frac{1}{n}] tel que :
f(a_{n})=f(a_{n}+\frac{1}{n})
Death Cube K a écrit:
En gros si on demande si la fonction est continue, c’est si y’a moyen de boucher le trou ?
Autrement dit si une fonction est définie de R vers R sauf pour x=1 et x=2 faut prouver que leur images permettent de recoller la courbe ?
Mais du coup comment on sait quelle limite trouver si c’est le cas ?
Parce qu’ils disent qu’une fonction est continue en a si sa limite en a est f(a), mais si f n’est pas définie en a comment trouver son image…
Non.
Une fonction est continue en a si elle admet une limite (finie) en a. (et le fait que la limite soit f(a) est une conséquence)
Justement tu trouves en calculant la limite, si tu trouves un truc alors voilà c’est bon.
Genre sin(x)/x tu peux y aller naivement sans savoir que ce sera 1. Une fois que tu trouves 1 c’est bon tu peux prolonger par continuité, si t’avais trouvé 53 ben f(0)=1 ca aurait pas été bon, ca aurait été f(0)=53.
Death Cube K a écrit:
Autrement dit si une fonction est définie de R vers R sauf pour x=1 et x=2 faut prouver que leur images permettent de recoller la courbe ?
…
De la recoller continûment (prolongement par continuité).
Mais comment tu sais la valeur que tu dois trouver ?
Et la définition que j’ai donné est bonne ?
Death Cube K a écrit:
Mais comment tu sais la valeur que tu dois trouver ?
Et la définition que j’ai donné est bonne ?
T’en sais rien.
Ta définition est bonne, mais inutilement « forte ».
Death Cube K a écrit:
Mais comment tu sais la valeur que tu dois trouver ?
Tu calcules la limite de f(x) quand x tend vers a (au moins la 3e fois qu’on te le dit).
Le valeurs aux points où la fonction n’est normalement pas d’habitude, soit on te les donne, et on te demande; "montrez que la fonction ainsi prolongée est continue.
Si on te les donne pas, tu regardes les limites de ta fonction aux bornes de son ensemble de définitions, et c’est bon.
Pourtant si je dis que lim en 0 est 3000 elle est pas continue et j’ai une limite finie…
Comment on peut savoir le résultat à trouver ?
Death Cube K a écrit:
Pourtant si je dis que lim en 0 est 3000 elle est pas continue et j’ai une limite finie…
Comment on peut savoir le résultat à trouver ?
Non mais tu dis pas que lim en 0 est 3000… (t’as déjà fait ça ???)
Tu la détermines.
Non mais c’est sérieux ces questions ??? 
Tu peux poser f(0)=1345661365 mais tu peux pas poser lim(f en 0)=13243541
Une limite ca se pose pas ca se calcule.