Je crois que ca peut t’aider: fr.wikipedia.org/wiki/Limites_in … 3%A9rieure
(Et ce n’est pas le bon endroit pour poser tes questions)
zboum a écrit:
[quote=« Vlastilin »]
Soient a,b,c 3 complexes de module 1 tels que a+b+c=1. Montrer qu’au moins l’un des complexes est égal à 1
Calculer (1-a)(1-b)(1-c) et ensuite jouer sur les conjugués en se rappelant que pour un complexe de module 1, son conjugué vaut son inverse.
[/quote]
Meilleure méthode moins sortie du chapeau :
On a a+b+c-1=0 en d’autres termes ces 4 vecteurs forment un quadrilatère. C’est même un losange car tous les côtés sont de même longueur. On a donc l’un des trois vecteurs qui est +1
Dubblee a écrit:
Meilleure méthode moins sortie du chapeau :
On a a+b+c-1=0 en d’autres termes ces 4 vecteurs forment un quadrilatère. C’est même un losange car tous les côtés sont de même longueur. On a donc l’un des trois vecteurs qui est +1
Je l’attendais celle là 
Tu as oublié le cas où le quadrilatère est croisé 
si ce n’est pas le bon endroit où est il alors ?
Tu peux créer un nouveau sujet dans le forum « Mathématiques »
Vlastilin a écrit:
[quote=« Dubblee »]
Meilleure méthode moins sortie du chapeau :On a a+b+c-1=0 en d’autres termes ces 4 vecteurs forment un quadrilatère. C’est même un losange car tous les côtés sont de même longueur. On a donc l’un des trois vecteurs qui est +1
Je l’attendais celle là Tu as oublié le cas où le quadrilatère est croisé
[/quote]
S’il est croisé il est plat 
oui mais faut le montrer car ça ne figure dans le programme d’aucune classe antérieure 
il suffit pas de changer « l’ordre » des côtés?
Je pensais pourtant avoir à faire à des exos niveau TS en écrivant ce topic.
regarde celui que je t’ai mis plus haut
[spoiler]Soit z complexe non nul,
on note p et q ses racines carrées.
Condition nécessaire et suffisante pour que les points M, P et Q (d’affixes resp z,p,q) forment un triangle rectangle en M?[/spoiler]
il est déjà plus du niveau TS je pense si tu as fait Spé maths
L.D a écrit:
Un facile :
Soit z complexe non nul,
on note p et q ses racines carrées.Condition nécessaire et suffisante pour que les points M, P et Q (d’affixes resp z,p,q) forment un triangle rectangle en M?
Je suis quasiment certain que ce que j’ai fait est faux ^^.
Je trouve que P et Q sont sur le cercle trigo… Même si c’était juste il faudrait préciser les z qui conviennent non? Ma solution est juste une solution necessaire je crois
Le détail:
On pose q=-p=\sqrt{z}.
MPQ rectangle en M ssi arg \left(\frac{q-z}{p-z}\right) = \frac{\pi}{2} (\pi)
\Leftrightarrow \frac{1-q}{-1-q} \in i\mathbb{R} (factorisation par q)
\Leftrightarrow (1-q)(-1-\bar{q}) \in i\mathbb{R} (multiplication par le conjugué puis on vire le dénominateur réel)
On pose x=Re(q) et y=Im(q).
Alors, $-(1-q)(1+\bar{q}) = -1-\bar{q}+q+q\bar{q}$$= -1-x+iy+x+iy+\sqrt{x^2+y^2}
Ainsi, (1-q)(-1-\bar{q}) \in i\mathbb{R}
\Leftrightarrow -1+\sqrt{x^2+y^2} = 0$
\Rightarrow x^2+y^2=1 (l’équivalence est fausse ici non? Donc ce n’est pas une CNS?)
ssi Q appartient au cercle trigo (et P aussi du coup)
Vlastilin a écrit:
oui mais faut le montrer car ça ne figure dans le programme d’aucune classe antérieure
Je te ferais une preuve par l’absurde avec les mains et un compas en fait
Le résultat est correct 
En voici un du même genre (X 2007) : chercher z complexe non nul tel que z et ses racines cubiques forment un parallélogramme.
@Dohvakiin, c’est juste, mais deux trois détails 
Dohvakiin a écrit:
On pose q=-p=\sqrt{z}
Evite, ta notation est fausse si z n’est pas un réel.
Dohvakiin a écrit:
\Leftrightarrow -1+\sqrt{x^2+y^2} = 0
\Rightarrow x^2+y^2=1 (l’équivalence est fausse ici non? Donc ce n’est pas une CNS?)
Pourquoi l’équivalence serait fausse ? Si x^2+y^2=1, la racine aussi, et si la racine vaut 1, on a bien ce que tu dis.
JeanN a écrit:
Le résultat est correct
En voici un du même genre (X 2007) : chercher z complexe non nul tel que z et ses racines cubiques forment un parallélogramme.
J’ai quelque chose mais c’est un peu bizarre (enfin je distingue deux cas mais je trouve la même chose dans les deux)
[spoiler]Soient p,q,r\in \mathbb{C} les racines cubiques de z et M(z), P(p), Q(q), R(r). On a q = pe^{i\frac{2\pi}{3} et r =pe^{i\frac{4\pi}{3}.
On cherche M tel que MPQR ou MPRQ soient des parallélogrammes:
Si MPQR est un parallélogramme, alors on a
\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{RQ} \Leftrightarrow p-z = q-r \Leftrightarrow p-p^3 = pe^{i\frac{2\pi}{3}} - pe^{i\frac{4\pi}{3} \Leftrightarrow 1-p^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}} - e^{i\frac{4\pi}{3}} \Leftrightarrow 1-p^2 = i\sqrt{3} \Leftrightarrow p^2 = 1-i\sqrt{3}
p est une racine carrée de 2e^{-i\frac{\pi}{3}} donc on a p = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{6}} ou p = -\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}
D’où, en élevant au cube, z = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}} = -2i\sqrt{2} ou z= -2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}} = 2i\sqrt{2}
Si MPRQ est un parallélogramme, alors on a:
\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{QR} \Leftrightarrow p-z = r-q \Leftrightarrow p - p^3 = pe^{i\frac{4\pi}{3}} - pe^{i\frac{2\pi}{3}} \Leftrightarrow 1-p^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} - e^{i\frac{2\pi}{3}} \Leftrightarrow 1-p^2 = -i\sqrt{3} \Leftrightarrow p^2 = 1+\sqrt{3}
p est une racine carrée de 2e^{i\frac{\pi}{3}} donc on a p = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}} ou p = -\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}
D’où z = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i\sqrt{2} ou z = -2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} = -2i\sqrt{2}
Les seules solutions sont donc z = 2i\sqrt{2} et z = -2i\sqrt{2}[/spoiler]
Oui ça doit être bon, j’ai trouvé la même chose
Sinon tu peux raisonner en considérant le centre du parallélogramme qui est centre de symétrie
Ellias42 a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
On pose q=-p=\sqrt{z}
Evite, ta notation est fausse si z n’est pas un réel.
[/quote]
Merci ^^, ça m’a semblé bizarre aussi quand je l’ai écrit
Ellias42 a écrit:[quote=« Dohvakiin »]
\Rightarrow x^2+y^2=1 (l’équivalence est fausse ici non? Donc ce n’est pas une CNS?)
Pourquoi l’équivalence serait fausse ? Si x^2+y^2=1, la racine aussi, et si la racine vaut 1, on a bien ce que tu dis.
[/quote]
Mais si X^2=1, alors X=1 ou X=-1 non? Ça veut dire qu’on a le droit de dire « Si X^2=1, alors X=1 » en mettant de côté le cas X=-1?
Exercice :
Soit f une fonction de R dans R, continue, injective telle que l’une de ses itérées n-ième soit l’identité de R (n entier strictement naturel)
Montrer que f ou f^2 est l’identité de R.
Indication:
On pourra raisonner par disjonction de cas sur la monotonie de f
oui Dohvakiin, si tu sais que x>0, ce qui est forcément le cas pour x²+y² ^^
Bah si X est positif, il ne risque pas de valoir -1 (et la racine carrée est positive par définition)