Bah j’ai réussi a prouver que g est positive, donc c’est bon, mais comment on fait uniquement avec u et v stp ?
Dope a écrit:
Bah l’étude du signe de f:x \mapsto ln(1+x)-t+\frac{t^2}{2} te donne la première inégalité et celui de g:x \mapsto ln(1+x)-t.
Encore une fois tu verras des astuces en sup(ici par ex fonction concave en dessous de ses tangentes => l’inégalité de droite…). Mais c’est très bien de s’entrainer à faire toute l’étude
(normalement ça devrait pas être trop dur d’étudier g !)
C’est ce qu’il a fait.
Le truc c’est qu’ils demandent pas de faire une étude supplémentaire, donc j’ai pas l’impression de répondre à la question.
Oula j’ai fait comme lui je me suis embrouillé dans les notations avec les x et les t…
Oui je n’avais pas bien lu le message. Mais je ne vois pas pourquoi on pourrait montrer l’inégalité 2 seulement avec l’étude de u et v !?
La question est « de l’étude des variations des fonctions u et v déduire l’inégalité », donc j’essaye uniquement avec ça.
Comment du coup on peut prouver que ln(1+t)<t seulement avec les variations de u et v ?
On ne peut pas. u ne sert à rien.
Il est sans doute mal défini.
Strelok a écrit:
[spoiler]A=[tan(ax)-sin(ax)]/[tan(bx)-sin(bx)]=[sin(ax)/sin(bx)][(1/cos(ax)-1)/(1/cos(bx)-1)]
=B*[(cos(bx)-cos(ax))/(cos(ax)-cps(bx)]
=-BAvec B=sin(ax)/sin(bx)
Or B=[sin(ax)/ax][1/sin(bx)/bx](ax)/(bx)
Et B->a/b car sin(x)/x->1 quand x->0D’où A->-a/b[/spoiler]
Commenf tu passes de [sin(ax)/sin(bx)][(1/cos(ax)-1)/(1/cos(bx)-1)] à B*[(cos(bx)-cos(ax))/(cos(ax)-cps(bx)] ?
Ok donc c’est parfait merci.
Du coup ça peut servir de transition avec ce qui va suivre, ou je bloque assez, l’exo commence a se corser. On définit la suite sn=f(1)+f(2)+…+f(n) ou f est la fonction définie par f(x)=ln(1+exp(-x))
Prouver que :
(1-exp(-n))/(e-1) - (1/2)(1-exp(-2n))/(exp(2)-1)<sn<(1-exp(-n))/(e-1)
Ce à quoi j’ai pensé c’est qu’on cherche ici a encadrer sn comme ln(1+t), donc si on arrive a écrire sn sous la forme ln(1+x) ou x=(1-exp(-n))/(e-1) alors c’est gagné.
or ln(1+x) est égale (après quelques lignes de calculs) a ln((1-exp(-n))/(1-exp(-1)), et on reconnait alors une suite géométrique de raison 1/e, autrement dit il faut prouver que sn=ln(1+exp(-1)+exp(-2)+…+exp(-n))
Or sn=ln(1+exp(-1))+ln(1+exp(-2))+…+ln(1+exp(-n)) c’est à dire sn=ln((1+exp(-1))(1+exp(-2)…(1+exp(-n))
Et à ce moment la je séche. Car en posant s2 je trouve la somme, mais en essayant avec s3 je trouve s3=ln(1+exp(-1)+exp(-2)+2exp(-3)+exp(-4)+exp(-5)+exp(-6)) ce qui colle absolument pas a la formule qu’on cherche.
Par ailleurs j’ai essayé de démontrer cette somme par récurrence chose que je pense qu’il faille faire (on peut pas affirmer que sn=ln(1+exp(-1)+exp(-2)+…+exp(-n)) sans justifier) et je n’y arrive pas.
Pourtant l’idée me paraissait bonne et assez recherchée (pour mon niveau bien sur).
Et en plus j’ai mis 20min a écrire ce message ^^
Dohvakiin a écrit:
[quote=« Strelok »]
[spoiler]A=[tan(ax)-sin(ax)]/[tan(bx)-sin(bx)]=[sin(ax)/sin(bx)][(1/cos(ax)-1)/(1/cos(bx)-1)]
=B*[(cos(bx)-cos(ax))/(cos(ax)-cps(bx)]
=-BAvec B=sin(ax)/sin(bx)
Or B=[sin(ax)/ax][1/sin(bx)/bx](ax)/(bx)
Et B->a/b car sin(x)/x->1 quand x->0D’où A->-a/b[/spoiler]
Commenf tu passes de [sin(ax)/sin(bx)][(1/cos(ax)-1)/(1/cos(bx)-1)] à B*[(cos(bx)-cos(ax))/(cos(ax)-cps(bx)] ?
[/quote]
Je multiplie en haut et en bas par cos(ax)cos(bx)
EDIT: Ah ouais c’est faux alalalala… 
EDIT2: Peut être qu’en mettant tan(ax)/tan(bx) en facteur et en utilisant le fait que (cos(x)-1)/x->0 quand x->0 on peut faire qqchose.
A vrai dire c’est lourd et bien inutile comme exercice sans utiliser les outils adaptés.
EDIT3: [tan(ax)/tan(bx)][(cos(ax)-1)/(cos(bx)-1)]
Or (cos(ax)-1)/(ax)²->1/2
On multitpie en haut et en bas par 1/(ax)²(bx)² et on refait le même truc qu’en haut pour le sinus appliqués aux tangentes ?
Ce qui fait [tan(ax)/tan(bx)][(cos(ax)-1)/(ax)²][1/(cos(bx)-1)/(bx)²]*(ax/bx)²
Or tan(ax)/tan(bx)=(tan(ax)/ax)(1/tan(bx)/bx)(ax/bx)
Donc la limite est (a/b)^3 ?
**Soit (Un)n>1 une suite de réels strictement positifs tels que U1 = 1 et telle que pour tout n on ait la relation :
(U1 + … + Un)² = U1³ + U2³ + … + Un³
Montrer que pour tout n, Un = n**
@Strelok: la limite c’est ça 
, le raisonnement doit être juste aussi. Oui c’est inutile et lourd :p.
lionel52 a écrit:
**Soit (Un)n>1 une suite de réels strictement positifs tels que U1 = 1 et telle que pour tout n on ait la relation :
(U1 + … + Un)² = U1³ + U2³ + … + Un³Montrer que pour tout n, Un = n**
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + n^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n)^2
brank a écrit:
[quote=« lionel52 »]
**Soit (Un)n>1 une suite de réels strictement positifs tels que U1 = 1 et telle que pour tout n on ait la relation :
(U1 + … + Un)² = U1³ + U2³ + … + Un³Montrer que pour tout n, Un = n**
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + n^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n)^2
[/quote]
Faut-il un spoiler pour ça 
?
Je suis pas sûr que ça soit une évidence pour tout le monde en terminale.C’est marrant que ça soit un type qui met un exo niveau spé qui fasse cette remarque 
Je suis d’accord que cette égalité n’est pas évidente mais alors tu es sûrement passé à côté du « Montrer que \forall n \in \mathbb{N}, U_{n}=n » .
lionel52 a écrit:
**Soit (Un)n>1 une suite de réels strictement positifs tels que U1 = 1 et telle que pour tout n on ait la relation :
(U1 + … + Un)² = U1³ + U2³ + … + Un³Montrer que pour tout n, Un = n**
Elle se fait par récurrence forte. A un moment il faut résoudre une équation du second degré et c’est bon.
Bouh tu viens de MP* Info on sait que tu sais
Non,non je passe en Mp* (et oui je savais, déjà vu dans un TD )
t’as peut etre fait differement Dope mais moi j’utilise mon spoiler 
(quoique ya moyen de s’en passer)
[spoiler]excusez moi pour l’illisibilite je suis sur un portable c’est pas evident j’ai fait une recurrence forte comme tout le monde je pense,pour l’heredite:
(1+…+n+Un+1)^2=1^3+…+n^3+Un+1^3
(1+…+n)^2+Un+1^2+Un+1xn(n+1)=(1+…+n)^2+Un+1^3 (j’ai utilise 1+…+n=n(n+1)/2 au programme de 1ere ,(a+b)^2=a^2+b^2+2ab et 1^3 +… + n^3 = (1 + … + n)^2 )
comme X=Un+1 non nul on peut diviser par Un+1 (special dedicace death kube K) ça donne:
X+n(n+1)=X^2
d’où X=Un+1=n+1 ( X=-n impossible carX>0)[/spoiler]
Juste pour en revenir à l’exo avec la limite d’intégrales ^^ :
golfeur a écrit:
Laurandi13 : Ah ouais ? je suis en train de réfléchir à une preuve avec des fonctions en escaliers et en utilisant le fait que toute fonction continue est limite uniforme d’une suite de fonction en escalier
Ca marche très bien comme ça, en plus il suffit de supposer f continue par morceaux, n’est-ce pas ?
