Imagine une suite de suites c’est le même genre. une suite dont chacun des termes est une suite.
Un petit exo pas si simple pour les futurs sup:
Un marcheur parcourt 12km en 1h. Montrer qu il existe un intervalle de 30min exactement pendant lequel le marcheur parcourt 6 km
Un classique du programme d’analyse de Sup (bien qu’effectivement à la portée des TS) celui-là. 
Blobixx a écrit:
[quote=« optimath »]
Voici maintenant une question tombée à un écrit ENS (2012) mais qui est accessible avec le programme de Terminale S :On introduit pour tout u > 0 : \Gamma(u) = \lim_{n \to +\infty } \cos(\frac{u}{2^0})cos(\frac{u}{2^1})\cdots \cos(\frac{u}{2^n}). Montrer que \Gamma(u) = \frac{\sin(2u)}{2u} pour tout u > 0.
Un pitit indice ?
[/quote]
Voici les étapes d’une solution :
[spoiler]1) Remarquer que :
- \sin(2u) = 2 \sin\left(\frac{u}{2^0}\right)\cos\left(\frac{u}{2^0}\right)
- \sin\left(\frac{u}{2^0}\right) = 2 \sin\left(\frac{u}{2^1}\right)\cos\left(\frac{u}{2^1}\right)
- \sin\left(\frac{u}{2^1}\right) = 2 \sin\left(\frac{u}{2^2}\right)\cos\left(\frac{u}{2^2}\right)
- De manière générale, pour tout entier k \geq -1, \sin\left(\frac{u}{2^k}\right) = 2 \sin\left(\frac{u}{2^{k+1}}\right)\cos\left(\frac{u}{2^{k+1}}\right)
-
En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, \sin(2u) = 2^{n+1} \sin\left(\frac{u}{2^n}\right) \cdot \prod_{k = 0}^{n}\cos\left(\frac{u}{2^k}\right). Il est possible de se passer de la récurrence en multipliant les égalités précédentes terme à terme et en simplifiant (avec les précautions d’usage). Mais une récurrence est la manière propre d’établir la relation précédente (votre futur prof vous le redira en MPSI).
-
Conclure en utilisant le fait que :
- pour u fixé, la suite (\frac{u}{2^n})_{n \in \mathbb{N}} converge vers 0;
- le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est 1
- la fonction f:\, x \mapsto \frac{\sin(x)}{x} si x > 0 et f(0) = 1 est continue sur son domaine de définition. (en particulier, si une suite (a_n) à valeurs positives converge vers a alors la suite \left(f(a_n)\right) converge vers f(a)).[/spoiler]
Jiawang a écrit:
Un petit exo pas si simple pour les futurs sup:
Un marcheur parcourt 12km en 1h. Montrer qu il existe un intervalle de 30min exactement pendant lequel le marcheur parcourt 6 km
Bon je me lance sans brouillon préalable.
[spoiler]Le temps ( en effet, pour passer de 30s à 32s on passe par la 31eme s ) . Soit v(t), la distance parcouru par le marcheur en un temps t. Cette fonction est continue. Elle est donc intégrable ( ça j’en suis pas sur à 100%) Or on a v(t) = \displaystyle\frac{dx}{dt} avec x(t) la position du marcheur. On peut donc dire que la distance parcouru entre t=0min et t=60min vaut x(60) - x(0). On reconnait la formule d’intégration vu pendant l’année d’où la distance parcouru entre t=0min et t=60min vaut \displaystyle \int_{0}^{60} v(t).dt.
Soit \alpha, un temps en minute appartenant à l’intervalle ]0;60[
D’après la relation de Chasles \displaystyle \int_{0}^{60} v(t).dt = \int_{0}^{\alpha} v(t).dt + \int_{\alpha}^{\alpha + 30} v(t).dt + \int_{\alpha + 30}^{60} v(t).dt[/spoiler]
Après je suis bloqué
[spoiler]On définit D(t) la distance effectuée entre t et t+30min
On regarde les différents cas:
D(0)=D(30)
D(0)>D(30)
D(0)<D(30)
Rq: on a D(0)+D(30)=12km
1er cas: On a D(0)=D(30)=6km OK
2ème cas: Il suffit d’appliquer le TVI à D, en effet D(0)>6km et D(30)<6km donc il existe un t tq D(t)=6km (ce qui donne un intervalle de 30min)
3ème cas: Idem[/spoiler]
On peut passer par l’intégration ?
Peut être.
** kledou a écrit:**
Cette fonction est continue. Elle est donc intégrable
Attention au vocabulaire,intégrable a un sens très précis.Par exemple f:=x->x est continue sur R mais n’y est pas intégrable.Par contre toute fonction continue sur un intervalle y admet une primitive.
Ok. sinon c’est possible de trouver la réponse par les intégrales ?
Je ne pense pas en tous cas j’ai pas fait comme ça moi.L’argument essentiel que j’ai utilisé c’est:
le théorème des valeurs intermédiaires
Sinon j’en ai posté un très ressemblant dans « exo sympa MP(*) »
« On assimile la surface de la terre à une sphère parfaite et on suppose que la fonction qui à un point de la surface associe sa température est continue.Montrez qu’il existe toujours 2 points diamétralement opposés à la même température. »
Avec les intégrales :
[spoiler]On pose d(x) = \int_x^{x+30} v(t)dt où v est la vitesse. (le temps t est en minute mais c’est pas important)
d est continue ; si d < 6 pour tout x dans [0;30] alors d(0)+d(30) = 12 < 6 + 6 : absurde
même chose si d > 6 pour tout x
après TVI[/spoiler]
@brank : Y’a besoin d’outils de SUP/SPE pour l’exo ?
Jiawang a écrit:
Un marcheur parcourt 12km en 1h. Montrer qu il existe un intervalle de 30min exactement pendant lequel le marcheur parcourt 6 km
Soit P:=t->P(t) qui à un temps (entre 0 et 60) associe la position du marcheur (entre 0 et 12),kledou tu peux regarder la fonction h:=t->P(t+30)-P(t)
Ouais lionel,mais pas la peine de mettre un symbole intégrale,d’introduire la vitesse du marcheur,en plus si ça trouve elle est pas intégrable au sens de Riemann ,par exemple si le marcheur avance la la vitesse v1 sur les rationnels et v1+1 sur les irrationnels (difficile en pratique) alors qu’une simple différence de fonction suffit.
La vitesse est une fonction toujours continue je crois contrairement à l’accélération
ok merci c’est bon à savoir !
Franchement comment on peut trouver l’idée pour résoudre ce genre d’exo ?
lionel52 a écrit:
La vitesse est une fonction toujours continue je crois contrairement à l’accélération
Imagine les voitures pendant les crashs test. Lorsqu’elles s’ecrasent contre le mur, discontinuité de la vitesse donc elle n’est pas toujours continue je pense.
Bon évidemment, appliqué a l’exo, je pense qu’on peut la considérer comme continue.
Bin intuitivement j’ai eu envie de poser h:t->P(t+30)-P(t) parce que c’est ça marcher « 30 minutes exactement ».Ensuite je me suis demandé où était défini h et où elle allait (c’est une des premières choses quand on a une fonction ).Et en général les exos comme ça,où on demande l’existence sans expliciter la solution jme dis il doit avoir un truc comme le théorème des valeurs intermédiaires.