Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
Je serai ravi de voir une preuve n’utilisant pas la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}
pour l’exo de l’X,sans plus de précision bin: 1 quoi:)
bah, j’ai mis c’t’exo car on m’a dit que c’était pas trop dur pour des futurs sups !
il est faisable mais vachement dur sans indications…
Vlastilin a écrit:
il est faisable mais vachement dur sans indications…
On m’a dit de tester des valeurs remarquables de x et y pour avoir des infos sur les fonctions … C’est bon ?
Un que certains ont déjà du voir 
Soit (un) une suite de nombres réels positifs telle que u0 = 1 et telle que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes u0, u1, …, un-1 soient supérieurs ou égaux à 2un.
Montrer que (un) tend vers 0.
brank a écrit:
Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
D’abord, on a,
f(x+0)=f(x)+f(0) \Leftrightarrow f(0)=0.
De plus, $f(x-x)=f(x)+f(-x) \Leftrightarrow f(0)=f(x)+f(-x)$$\Leftrightarrow f(x)=-f(-x)$
donc les fonctions f sont impaires.
On trouve aussi que f(nx)=nf(x), \forall n\in\mathbb{R}
Donc je dirais que les fonctions f sont de la forme f(x)=ax, \forall a\in\mathbb{R}, mais cela reste à prouver 
Vlastilin a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
La combinatoire oui (d’ailleurs oral de l’X: trouver le PGCD des C^{k}_{2n}, je veux bien voir la solution si quelqu’un veut bien la donner ^^'), sinon tout ce qui est loi binomiale, probabilités totales etc je crois qu’on en n’aura pas.
pour k variant de quoi à quoi ?
[/quote]
Oups désolé, c’est n entier naturel et k entier naturel tq 0<k<2n
brank a écrit:
Un que certains ont déjà du voirSoit (un) une suite de nombres réels positifs telle que u0 = 1 et telle que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, au moins la moitié des termes u0, u1, …, un-1 soient supérieurs ou égaux à 2un.
Montrer que (un) tend vers 0.
Bon après les remontrances d’hier je poste ici plusieurs questions sur un message au lieu de faire le contraire :
Soit l’intégrale I de 1 à x de (2t-1)/(t²-4)
J’aimerais connaitre son ensemble de définition et ses variations. Pour l’ensemble je dirais ]-2,2[ parce que sinon vu qu’on est de 1 a x y’aura une coupure en plein milieu avec le fait que les valeurs interdites soient 2 et -2. Cela dit quand je trace la fonction j’ai l’impression qu’on peut pas non plus calculer l’aire de 1 à -1 par exemple, puisque f s’annule entre les deux…
Pour les variations je pensais calculer I pour ensuite la dériver mais j’arrive pas…
J’aimerais par ailleurs un indice pour calculer une primitive de sqrt(9-x²)
Enfin et pour tout, j’aimerais savoir si on a le droit d’appliquer la règle des termes du plus haut degré pour calculer une limite d’une fonction rationnelle contenant des ln, exp, etc… Par exemple a-t-on le droit de dire que la limite de (exp(x))/(exp(x)+1) est expx/expx ? Idem pour le logarithme. Mais du coup quand on a des x^3, x^4, etc… comment sait-on si l’exponentielle est le plus haut terme ?
merci
Tu veux dire en plus l’infini (je parle de tes dernières questions) ?
\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}, donc…
Sinon, pour comparer exp à x^n, tu devrais avoir dans ton cours un chapitre « croissances comparées ».
Death Cube K a écrit:
Bon après les remontrances d’hier je poste ici plusieurs questions sur un message au lieu de faire le contraire :
Soit l’intégrale I de 1 à x de (2t-1)/(t²-4)
J’aimerais connaitre son ensemble de définition et ses variations. Pour l’ensemble je dirais ]-2,2[ parce que sinon vu qu’on est de 1 a x y’aura une coupure en plein milieu avec le fait que les valeurs interdites soient 2 et -2. Cela dit quand je trace la fonction j’ai l’impression qu’on peut pas non plus calculer l’aire de 1 à -1 par exemple, puisque f s’annule entre les deux…
Les bornes de l’intégrale sont 1 et x donc l’ensemble ]-2;2[ ne peut être l’ensemble de définition. Je dirais plutôt [1;2[\cup]2;+\infty[ mais je ne suis pas sûre
Death Cube K a écrit:
Bon après les remontrances d’hier je poste ici plusieurs questions sur un message au lieu de faire le contraire :
Soit l’intégrale I de 1 à x de (2t-1)/(t²-4)
J’aimerais connaitre son ensemble de définition et ses variations. Pour l’ensemble je dirais ]-2,2[ parce que sinon vu qu’on est de 1 a x y’aura une coupure en plein milieu avec le fait que les valeurs interdites soient 2 et -2. Cela dit quand je trace la fonction j’ai l’impression qu’on peut pas non plus calculer l’aire de 1 à -1 par exemple, puisque f s’annule entre les deux…
Pour les variations je pensais calculer I pour ensuite la dériver mais j’arrive pas…
J’aimerais par ailleurs un indice pour calculer une primitive de sqrt(9-x²)
Enfin et pour tout, j’aimerais savoir si on a le droit d’appliquer la règle des termes du plus haut degré pour calculer une limite d’une fonction rationnelle contenant des ln, exp, etc… Par exemple a-t-on le droit de dire que la limite de (exp(x))/(exp(x)+1) est expx/expx ? Idem pour le logarithme. Mais du coup quand on a des x^3, x^4, etc… comment sait-on si l’exponentielle est le plus haut terme ?
merci
1/ Ton intégrale est définie lorsque ton intégrande est continue
Tu dérives facilement l’intégrale, regarde ton cours
2/ Tu sais dériver la composée de deux fonctions, sqrt(x) et 9-x^2
3/ Pour les limites de fractions avec ln, exp et puissances de x tu sais que exp « l’emporte » sur les deux autres et que le ln « perd », pense à factoriser et tu sais que la limite d’une fonctoon polynomiale en l’infini est celle de son monôme de plus haut degré.
brank a écrit:
Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
Je serai ravi de voir une preuve n’utilisant pas la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}pour l’exo de l’X,sans plus de précision bin: 1 quoi:)
Ca marche de dire que ca veut dire que f est à la fois concave et convexe. Et donc que c’est les fonctions affines ?
Par intégrande tu entends la fonction qu’on intègre ? Ici elle est continue sur ]-oo,-2[U]2,+oo[ mais ça me parait bizarre que l’intégrale soit définie sur cet intervalle.*
Comment tu dérives l’intégrale ?
Pour le sqrt je vois pas comment primitiver…
Ok donc c’est bon, puisque exp l’emporte sur x^n, et ln perd face a x^n, donc la boucle est bouclé. Mais je voudrais savoir si en DS on a le droit de dire simplement que la limite d ela fonction que j’ai citée est exp(x)/exp(x), parce que je sais bien qu’on peut factoriser par exp(x), mais là je parle pas de ça.
Et comment tu montres que les seules fonctions à la fois concaves et convexes sont les fonctions affines ?
Ca marche de dire que ca veut dire que f est à la fois concave et convexe. Et donc que c’est les fonctions affines ?
Et comment tu prouves que les fonctions concaves et convexes sont les fonctions affines ? Comment tu prouves que cette équation fonctionnelle implique que f est convexe sans passer par N,Z,Q,R ?
Death Cube K a écrit:
Bon après les remontrances d’hier je poste ici plusieurs questions sur un message au lieu de faire le contraire :
Soit l’intégrale I de 1 à x de (2t-1)/(t²-4)
J’aimerais connaitre son ensemble de définition et ses variations. Pour l’ensemble je dirais ]-2,2[ parce que sinon vu qu’on est de 1 a x y’aura une coupure en plein milieu avec le fait que les valeurs interdites soient 2 et -2. Cela dit quand je trace la fonction j’ai l’impression qu’on peut pas non plus calculer l’aire de 1 à -1 par exemple, puisque f s’annule entre les deux…
Pour les variations je pensais calculer I pour ensuite la dériver mais j’arrive pas…
J’aimerais par ailleurs un indice pour calculer une primitive de sqrt(9-x²)
Enfin et pour tout, j’aimerais savoir si on a le droit d’appliquer la règle des termes du plus haut degré pour calculer une limite d’une fonction rationnelle contenant des ln, exp, etc… Par exemple a-t-on le droit de dire que la limite de (exp(x))/(exp(x)+1) est expx/expx ? Idem pour le logarithme. Mais du coup quand on a des x^3, x^4, etc… comment sait-on si l’exponentielle est le plus haut terme ?
merci
1/Si tu veux étudier les variations de ton intégrale en fonction de x : On sait que f(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \frac{(2t-1)}{(t^2-4)} dt. Soit g(t) = \frac{(2t-1)}{(t^2-4)}. On a donc \displaystyle f(x) = [g(t)]_{1}^{x} = G(x) - G(1). Si on veut étudier les variations de f, il faut dériver f et étudier le signe de la dérivée.
Là j’avoue ne rien comprendre a toutes tes notations.
Vlastilin a écrit:
il est faisable mais vachement dur sans indications…
Par contre il peut être intéressant de le faire avec la condition f dérivable & non plus seulement continue ce qui facilite grandement l’exo pour de futurs sups.
On peut passer par la densité des nombres décimaux (et pas rationnels) dans R ah ah 
Valvino a écrit:
Et comment tu montres que les seules fonctions à la fois concaves et convexes sont les fonctions affines ?
Vlastilin a écrit:
Ca marche de dire que ca veut dire que f est à la fois concave et convexe. Et donc que c’est les fonctions affines ?
Et comment tu prouves que les fonctions concaves et convexes sont les fonctions affines ? Comment tu prouves que cette équation fonctionnelle implique que f est convexe sans passer par N,Z,Q,R ?
Justement c’est de là que vient mon hésitation.
