kledou a écrit:
Tiens, une démo qui peut être sympa ( je trouve ).
Soit f, une fonction dérivable et bijective de I vers J. f’ n’est pas nulle sur I.
Montrer que \displaystyle(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}
On a (f\circ f^{-1} )' = f^{-1}'.f'\circ f^{-1} = 1
D’où f^{-1}= \frac{1}{f' \circ f^{-1}}
Par contre j’aimerais que tu m’aides a calculer l’aire que j’ai donné.
Moi ce qui me bloque c’est juste le renversement, j’aurais eu a calculer l’aire du domaine délimité par (O,i), C x=0 et x=1 j’aurais réussi, la je vois pas.
Ou alors je triche je dis que c’est - intégrale de 0 a 1, donc - (intégrale de 0 a 1/2 -intégrale de 1/2 a 1) soit -intégrale de 0 a 1/2 +intégrale de 1/2 a 1.
tu ne triches pas, par contre c’est l’opposé vu que la fonction est positive sur [0;1/2] et négative sur [1/2;1]
Je refais : Int(1->0)=-Int(0->1)=-(Int(0->1/2)-Int(1/2,1))=-Int(0->1/2)+Int(1->1/2)
Bah je pense que c’est bon non ?
Death Cube K a écrit:
=-Int(0->1/2)+Int(0->1/2)
= 0 ? Tu as du mal écrire qqch !
Mais pour le calcul d’aire, tu devrais plutot décomposer $$\mathbb{A}{0->1} = \mathbb{A}{0-> 1/2} + \mathbb{A}_{1/2 → 1}$$ et ensutie exprimer les deux aires correspondantes.
Donc A(0->1)=Int(0->1/2)-Int(1/2->1) ?
Mais la on cherche A(1->0) donc c’est -Int(0->1/2)+Int(1/2,1) ?
Cela dit il me semble que les 2 aires sont égales donc je pense dire des bêtises.
Une aire est forcément positive, donc que tu la parcours de 0 vers 1 ou inversement, ce sera la meme chose. Pour pas te compliquer la vie, une fois que tu as décomposé, écris que l’aire est la somme des valeurs absolues des intégrales. Comme ca, tu es sur de pas faire d’erreur de signe.
A(0->1)=Int(0->1/2)-Int(1/2->1) = A(1->0) (c’est une aire donc un nombre positif)
mais
Int(0->1) = Int(0->1/2) + Int(1/2 → 1)
c’est possible que les 2 aires soient égales j’ai pas vérifié
Donc l’aire c’est soit l’intégrale de 0 a 1 OU de 1 à 0 ?
Donc si on prend de 0 a 1 ca fait + Int(0->1/2) - Int(1/2,1) ?
EDIT : lionel ça j’ai compris, ce qui me perturbe c’est que c’est de 1 à 0 en fait 
Blobixx a écrit:
[quote=« kledou »]
Tiens, une démo qui peut être sympa ( je trouve ).Soit f, une fonction dérivable et bijective de I vers J. f’ n’est pas nulle sur I.
Montrer que \displaystyle(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}
On a (f\circ f^{-1} )' = f^{-1}'.f'\circ f^{-1} = 1
D’où f^{-1}= \frac{1}{f' \circ f^{-1}}
[/quote]
Encore une fois, qu’est-ce qui permet d’affirmer que f^{-1} est dérivable ?
Donc on a le droit de dire que l’aire c’est Int(0,1/2)-Int(1/2,1)
Autre question : quelqu’un peut me dire comment trouver les variations d’une intégrale ? Je comprends vraiment pas :s
Nuhlanaurtograff a écrit:
Encore une fois, qu’est-ce qui permet d’affirmer que f^{-1} est dérivable ?
Si f est une fonction continue sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et si g est sa réciproque, la fonction g est dérivable en tout point b tant que f admet en g(b) une dérivée non nulle
source Wikipédia.
Je pense que Nulanaurtograff voulait justement qu’on le montre, c’est ça?
Dohvakiin a écrit:
Je pense que Nulanaurtograff voulait justement qu’on le montre, c’est ça?
En effet. Enfin, sauf que le résultat n’est pas évident du tout quand on arrive en sup, d’où ma surprise de voir une telle question apparaître dans ce sujet.
Death Cube K a écrit:
Donc on a le droit de dire que l’aire c’est Int(0,1/2)-Int(1/2,1)
Autre question : quelqu’un peut me dire comment trouver les variations d’une intégrale ? Je comprends vraiment pas :s
Prends a et b reels tels que a<b et compare f(a) et f(b) où f(t) est ton intégrale
Si t’es toujours à ton exo de tout à l’heure …
kledou a écrit:
[quote=« Death Cube K »]
Bon après les remontrances d’hier je poste ici plusieurs questions sur un message au lieu de faire le contraire :Soit l’intégrale I de 1 à x de (2t-1)/(t²-4)
J’aimerais connaitre son ensemble de définition et ses variations. Pour l’ensemble je dirais ]-2,2[ parce que sinon vu qu’on est de 1 a x y’aura une coupure en plein milieu avec le fait que les valeurs interdites soient 2 et -2. Cela dit quand je trace la fonction j’ai l’impression qu’on peut pas non plus calculer l’aire de 1 à -1 par exemple, puisque f s’annule entre les deux…
Pour les variations je pensais calculer I pour ensuite la dériver mais j’arrive pas…
J’aimerais par ailleurs un indice pour calculer une primitive de sqrt(9-x²)
Enfin et pour tout, j’aimerais savoir si on a le droit d’appliquer la règle des termes du plus haut degré pour calculer une limite d’une fonction rationnelle contenant des ln, exp, etc… Par exemple a-t-on le droit de dire que la limite de (exp(x))/(exp(x)+1) est expx/expx ? Idem pour le logarithme. Mais du coup quand on a des x^3, x^4, etc… comment sait-on si l’exponentielle est le plus haut terme ?
merci
1/Si tu veux étudier les variations de ton intégrale en fonction de x : On sait que f(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \frac{(2t-1)}{(t^2-4)} dt. Soit g(t) = \frac{(2t-1)}{(t^2-4)}. On a donc \displaystyle f(x) = [g(t)]_{1}^{x} = G(x) - G(1). Si on veut étudier les variations de f, il faut dériver f et étudier le signe de la dérivée.
[/quote]
C’est incroyable comment je comprends rien là…
Pourquoi f(x)=[g(t)] ?
C’est plutot $$f(x) = [G(t)]_{1}^{x}$$ ou G est une primitive de g(t) = \frac{2t - 1}{t^{2} - 4}
Moi, y’a un truc que je comprends toujours pas, c’est pouruquoi vous dites que le domaine de définition c’est ]-2;2[ et non pas [1;2[\cup]2;+\infty[ ? On a bien 1<t<x non ?
Il y a une discontinuité de la fonction en -2 et en 2. Donc tu peux pas calculer d’intégrale sur un intervalle contenant l’une des deux valeurs.
Or, ce qui est fixé, c’est la valeur 1 puis tu cherches x. Si tu prends x supérieure a 2 strictement, alors 2 est dans l’intervalle, ce qui n’est pas possible (discontinuité de la fonction). Si tu prends inférieure strictement a -2, idem. Donc l’intervalle est réduit a ]-2, 2[.
On aurait pu prendre dans ]2, +infini[ si la premiere borne (égale a 1) n’avait pas été fixée.