Essaie de trouver par toi meme, inspire toi de 1/x² pour commencer, ca te donnera une idée. et généralise ensuite a u’/u^n.
Xant a écrit:
Montrer que : \cos(\frac{\Pi}{9})\cos(\frac{2\Pi}{9})\cos(\frac{3\Pi}{9})\cos(\frac{4\Pi}{9}) = \frac{1}{16}
Sinon, voici une version 2 :
[spoiler]Soit P_n(X) le n-ième polynôme de Tchebyshev, i.e. tel que P_n(\cos x) = \cos(n x). D’après la formule \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b), on sait que \cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)=2\cos(x)\cos(nx), c’est-à-dire P_{n+1}(X) = 2 X P_n(X) - P_{n-1}(X), avec P_0(X) = 1 et P_1(X) = X. Donc une récurrence immédiate indique que le coefficient dominant de P_n(X) est 2^{n-1}, quand n \geq 1.
Or, on sait que les racines de P_{18}(X) - 1 sont les \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) pour 0 \leq k \leq 17. Or, on sait aussi que \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{(9-k) \pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{(18 - k) \pi}{9}\right).
Donc $P_{18}(0) - 1 = 2^{17} \prod_{k=0}^{17}\left(0 - \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)\right) =$$2^{17} \prod_{k=0}^{17}\cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = - 2^{17} \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)^4$. De plus, P_{18}(0)-1 = P_{18}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)-1 = \cos(9 \pi)-1 = -2. Donc \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)^4 = 2^{-16}. Or, on sait que \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) \geq 0 quand 1 \leq k \leq 4. Donc \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) \geq 0, et on trouve ainsi \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = 2^{-4} = \frac{1}{16}.[/spoiler]
Évidemment, cette version peut paraître parachutée quand on est en terminale ou en MPSI, mais l’idée d’introduire des polynômes dont les racines vérifient certaines relations bien pensées est une idée extrêmement utile en pratique, et dont vous vous rendrez compte, à l’usage, qu’elle est en fait fort naturelle. De la même manière, on pourrait ainsi montrer que \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k \pi}{2n+1}\right) = 2^{-n}.
Vlastilin a écrit:
[quote=« Blobixx »]
[spoiler]Après linéarisation, j’obtiens:
sin^{6}(x)= -\frac{1}{32}cos(6x)+\frac{3}{16}cos(4x)-\frac{15}{32}cos(2x)+\frac{5}{16}cos^{6}(x)= \frac{1}{32}cos(6x)+\frac{3}{16}cos(4x)+\frac{15}{32}cos(2x)+\frac{5}{16}
donc sin^{6}(x)+cos^{6}(x)= \frac{3}{8}cos(4x)+\frac{5}{8}
De plus, 3sin^{2}(x)cos^{2}(x)= -3(cos^{2}(x)-1)(cos^{2}(x))= -\frac{3}{4}(cos^{2}(2x)-1)
car cos^{2}(x)=\frac{1}{2}(cos(2x)+1)
Or -\frac{3}{4}(cos^{2}(2x)-1)= -\frac{3}{8}(cos(4x)-1)
donc, sin^{6}(x)+cos^{6}(x)+3sin^{2}(x)cos^{2}(x)= \frac{3}{8}cos(4x)+\frac{5}{8}-\frac{3}{8}(cos(4x)-1)
soit au final, \boxed{sin^{6}(x)+cos^{6}(x)+3sin^{2}(x)cos^{2}(x)= 1}[/spoiler]
Sinon : dérive, puis factorise par cos.sin, puis utilise cos²+sin²=1, et ça tombe tout seul et beaucoup plus vite
[/quote]
Exact !
f(x)={sin^{6}(x)+cos^{6}(x)+3sin^{2}(x)cos^{2}(x)
Je trouve f’(x)=0 donc f est constante.
D’où f(x)=f(0)= 1
blobixx Soit f:x->x^2, f’(0)=0 non ? pourtant f n’est pas constante
d’autant V@J que beaucoup de sujets de concours utilisent les polynômes de Tchebyshev !
Bah 1/x^2 → -1/x
pour 1/x^3 je trouve -1/2*1/x^2 donc en généralisant 1/x^n → -1/(n-1)*1/x^(n-1) non ?
V@J a écrit:
[quote=« Xant »]
Montrer que : \cos(\frac{\Pi}{9})\cos(\frac{2\Pi}{9})\cos(\frac{3\Pi}{9})\cos(\frac{4\Pi}{9}) = \frac{1}{16}
Sinon, voici une version 2 :
[spoiler]Soit P_n(X) le n-ième polynôme de Tchebyshev, i.e. tel que P_n(\cos x) = \cos(n x). D’après la formule \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b), on sait que \cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)=2\cos(x)\cos(nx), c’est-à-dire P_{n+1}(X) = 2 X P_n(X) - P_{n-1}(X), avec P_0(X) = 1 et P_1(X) = X. Donc une récurrence immédiate indique que le coefficient dominant de P_n(X) est 2^{n-1}, quand n \geq 1.
Or, on sait que les racines de P_{18}(X) - 1 sont les \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) pour 0 \leq k \leq 17. Or, on sait aussi que \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{(9-k) \pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{(18 - k) \pi}{9}\right).
Donc $P_{18}(0) - 1 = 2^{17} \prod_{k=0}^{17}\left(0 - \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)\right) =$$2^{17} \prod_{k=0}^{17}\cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = - 2^{17} \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)^4$. De plus, P_{18}(0)-1 = P_{18}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)-1 = \cos(9 \pi)-1 = -2. Donc \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right)^4 = 2^{-16}. Or, on sait que \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) \geq 0 quand 1 \leq k \leq 4. Donc \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) \geq 0, et on trouve ainsi \prod_{k=1}^4 \cos\left(\frac{k \pi}{9}\right) = 2^{-4} = \frac{1}{16}.[/spoiler]
Évidemment, cette version peut paraître parachutée quand on est en terminale ou en MPSI, mais l’idée d’introduire des polynômes dont les racines vérifient certaines relations bien pensées est une idée extrêmement utile en pratique, et dont vous vous rendrez compte, à l’usage, qu’elle est en fait fort naturelle. De la même manière, on pourrait ainsi montrer que \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k \pi}{2n+1}\right) = 2^{-n}.
[/quote]
J’aime bien ta version « Char d’assaut ». 
brank a écrit:
blobixx Soit f:x->x^2, f’(0)=0 non ? pourtant f n’est pas constante
d’autant V@J que beaucoup de sujets de concours utilisent les polynômes de Tchebyshev !
je voulais ecrire f’(x) = 0 . Je corrige
oui Il faut surtout que que f soit défini sur un intervalle (sur R* c’est pas vrai)
Sinon les gens j’ai un exercice que je trouve assez dur dans le sens ou j’ai aucune indication (il est dans mon cours par contre)
Soit un la somme de 1 à n de (-1)^k/(2k+1)
Réduire la somme : 1-t^2+t^4-t^6+…+(-1)^nt^n et en déduire que un-Int(0->1)(1/(t^2+1)=(-1)^n*Int(0->1)(t^(2n+2)/(1+t^2))
où Int(0->1)(u) désigne l’intégrale de u bornée de 0 à 1.
j’aimerais un indice svp
(Xant j’attends ton avis sur la question des primitives)
Petit travail de $\LaTeX$isation :
Soit u_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}. Réduire la somme \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{2k} et en déduire que u_n - \int_0^1 \frac{dt}{t^2+1} = (-1)^n \int_0^1 \frac{t^{2n+2} dt}{1+t^2}
un commence pour k=1, mais merci ça va alléger ^^
Soit (un) et (vn) deux suites réelles convergeant vers ℓ et ℓ′ avec ℓ<ℓ′.
Montrer qu’à partir d’un certain rang : un<vn.
DCK,pour ton exo tu as juste besoin de connaitre :
1)la formule de la somme géométrique
2)l’intégrale d’une somme finie (de fonctions) c’est la somme des intégrales.
Pour la somme histoire de bien partir c’est bien (1-t^(2n+2))/(1+t^2) ?
Death Cube K a écrit:
Pour la somme histoire de bien partir c’est bien (1-t^(2n+2))/(1+t^2) ?
non
Alors DCK, accorde un peu de temps au LaTex. Tu n’as que quelques lignes à lire ici :
Ou si tu tiens vraiment à rester ignorant en la matière (matière LaTex 
), tu n’as qu’à utiliser cet éditeur et faire des copier-coller :
Pour ton exo, voici quelques indications :
- réduction de la somme : écrire t^{2k} = (t^2)^k, utiliser l’identité remarquable qui ressemble à x^m-1 = (x-1)(\textrm{quelque chose})
- Pour la relation demandée : intègrer la somme de deux façons, à partir de son expression directe puis à partir de l’expression réduite, identifie et miracle !
Un exercice assez intéressant sur les suites . Niveau TS
Montrer que (un)∈ZN converge si, et seulement si, (un) est stationnaire.
Charif a écrit:
Un exercice assez intéressant sur les suites . Niveau TS
Montrer que (un)∈ZN converge si, et seulement si, (un) est stationnaire.
Stationnaire ? J’ai entendu ce mot en maths !
Constante à partir d’un certain rang si tu préfères.
Blobixx a écrit:
[quote=« Charif »]
Un exercice assez intéressant sur les suites . Niveau TSMontrer que (un)∈ZN converge si, et seulement si, (un) est stationnaire.
Stationnaire ? J’ai entendu ce mot en maths !
[/quote]
Stationnaire = La suite garde une meme valeur a partir d’un rang n_{0} \in \mathbb{N}.