C’est quoi ZN ?
il voulait écrire \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} je pense
C’est pas niveau TS dans le formalisme.
(<=) OK
(=>) A partir d’un certain rang (un) est dans l’intervalle centré sur l de taille inférieur ou égale à 1 (on va prendre 1) cet intervalle continent (au max) un unique entier, et c’est un.
Si on note le rang N alors pour tout n>=N on a un=uN. (au passage on montre que l€Z)
Charif a écrit:
Soit (un) et (vn) deux suites réelles convergeant vers ℓ et ℓ′ avec ℓ<ℓ′.
Montrer qu’à partir d’un certain rang : un<vn.
vn-un tend vers ℓ′-ℓ > 0 donc soit \epsilon \in ]0;l'-l[ il existe N tel que n > N \Rightarrow |v_n-u_n - (l'-l)| < \epsilon \Rightarrow v_n-u_n > l'-l - \epsilon > 0
Bonjour,
Montrons d’abord qu’une suite entière convergente converge forcément dans \mathbb{Z} :
Soit (u_n) une suite entière qui converge vers L \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}
Posons L = L^{\circ} + l, L^{\circ} \in \mathbb{Z}, 0<l<1.
Alors \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, u_n \in [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!]
En particulier, prenons \epsilon < l et \epsilon < 1 - l, alors [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!]=[\![L^{\circ} + l - \epsilon ; L^{\circ} + l + \epsilon]\!] = \varnothing Contradiction !
Une suite entière convergente ne converge donc pas dans \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}, elle converge donc dans \mathbb{Z}.
Supposons qu’(u_n) converge et montrons qu’alors elle est stationnaire :
Soit (u_n) une suite convergente vers L\in \mathbb{Z}.
Ainsi \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, u_n \in [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!]
En particulier, si on prend 0 < \epsilon < 1, alors [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!] = \{L\} et donc u_n \in [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!] \Rightarrow u_n=L et donc (u_n) est stationnaire.
Supposons maintenant que la réciproque est vraie :
Soit (u_n) une suite stationnaire à partir de n_0 et u_{n_0} = L.
Alors \forall \epsilon > 0, \forall n > n_0, u_n = L \Rightarrow u_n \in [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!]
Ainsi \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, u_n \in [\![L-\epsilon ; L+\epsilon]\!]
et donc la réciproque est vraie.
Conclusion : (u_n) \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} converge si, et seulement si, (u_n) est stationnaire.
SI vous pouviez me corriger, ce serait cool 
ouais ouais,moi j’aurais pris ε=\frac{1}{2} je trouve qu’on voit mieux le truc enfin ça change rien
Jempart tu as fait une erreur : soit (Un) une suite convergente vers L € Z.
Rien ne dit à ce stade que L est entier
J’ai édité 
L \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}
Je ne comprends pas cette notation.
Allez un classique :
- Soit (Un) une suite réelle convergente vers un réel L. Montrer que Vn = (U0+…+Un)/n converge vers l. (lemme de Césaro)
- Si (Un) vérifie Un+1 - Un → L alors quelle est la limite de Vn = Un/n?
- Et pour les plus tenaces : on pose U0 = 1, Un = sin(Un-1), déterminer la limite de (Un), chercher a tel que Un+1^a - Un^a converge vers une limite non nulle et en déduire la limite de sqrt(n)Un
Blobixx a écrit:
L \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}
Je ne comprends pas cette notation.
L est un nombre réel mais n’est pas un entier relatif (R privé de … -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 …)
moamoa a écrit:
[quote=« Blobixx »]
L \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}
Je ne comprends pas cette notation.
L est un nombre réel mais n’est pas un entier relatif (R privé de … -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 …)
[/quote]
Arf oui c’est tout bête. J’avais zappé que \ s’était « privé » .
Bon j’inaugure Latex.
Soit f(x)=\frac{1+2ln(x)}{x^2} et In=\displaystyle{\int_{n}^{n+1}{f(x)dx}}
Prouver que \forall n\geq4, 0\leq In\leq ln(\frac{n+1}{n})
Maintenant j’aimerais des avis sur mon raisonnement :
Dans cet exercice j’ai du étudier une page plus haut (l’énoncé est long) g tq g(x)=1-x+2ln(x)
On sait après étude de ses variations que \forall x\geq\alpha ou \alpha est solution de g(x)=0 et après encadrement égal à environ 3,51285 , g(x)\leq0
On a donc \forall x\geq4 , 1-x+2ln(x)\leq0 soit 2ln(x)+1\leq x et x\geq0 donc f(x)\leq\frac{1}{x}
Alors \forall n\geq4, \forall x\in[4,n+1] soit \forall x\in[n,n+1] \displaystyle{\int_{n}^{n+1}{f(x)dx}}\leq\displaystyle{\int_{n}^{n+1}{\frac{1}{x}dx}}
De plus \displaystyle{\int_{n}^{n+1}{\frac{1}{x}dx}}=[ln(x)]_{n}^{n+1}=ln(n+1)-ln(n)=ln(\frac{n+1}{n})
Donc \forall n \geq4, 0\leq In \leq ln(\frac{n+1}{n})
Ais-je bon (après une demi-heure de Latexisation) ? C’est surtout pour la partie des intégrales, parce que je sais pas si j’ai bien encadré x.
perfect
Youpiiii 
Bon je me remet à mon exo de tout à l’heure mais j’aurai sans doute besoin d’aide. Je remet l’énoncé :
Soit u_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}. Réduire la somme \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{2k} et en déduire que u_n - \int_0^1 \frac{dt}{t^2+1} = (-1)^n \int_0^1 \frac{t^{2n+2} dt}{1+t^2}
La somme je trouve \frac{1-(-t^2)^(n+1)}{1-(-t^2)}
Latex bug le (-t^2) est a l’exposant n+1
bin tu calcules la somme géométrique (en tenant compte du (-1)^n cette fois), tu l’intègres entre 0 et 1 des 2 cotés de l’égalité et t’as le résultat demandé.
en latex c’est (-t²)^{n+1}
Dites c’est quoi une fonction concave/convexe ?
Mon prof nous a fait une feuille dessus, concave c’est quand f’ et f sont décroissantes, et convexe c’est f et f’ croissantes ?
Et surtout à quoi ça sert ?
non c’est pas ça.
tu peux lire la page wikipedia,et si il y a des passages que tu comprends pas tu peux venir demander des explications ici.
L’interet des fonctions convexes, c’est que toutes les tangentes a la courbe restent en dessous de la courbe. Du coup, elle vérifie certaines inégalités que tu étudieras l’année prochaine. Et sinon, une fonction f est convexe ssi f' est croissante soit f" est positive.