Xant a écrit:
L’interet des fonctions convexes, c’est que toutes les tangentes a la courbe restent en dessous de la courbe. Du coup, elle vérifie certaines inégalités que tu étudieras l’année prochaine. Et sinon, une fonction f est convexe ssi f' est croissante soit f" est positive.
Donc convexe implique deux fois dérivable ?
Il me semble que la fonction valeur absolue est convexe (d’après l’inégalité triangulaire), mais elle n’est pas dérivable.
Cependant, une fonction deux fois dérivable est convexe ssi sa dérivée seconde est positive.
Voir wikipédia pour plus de détails et plus précisément ici.
brank a écrit:
[quote=« Xant »]
L’interet des fonctions convexes, c’est que toutes les tangentes a la courbe restent en dessous de la courbe. Du coup, elle vérifie certaines inégalités que tu étudieras l’année prochaine. Et sinon, une fonction f est convexe ssi f' est croissante soit f" est positive.
Donc convexe implique deux fois dérivable ?
[/quote]
Au temps pour moi, seules les implications (<=) fonctionnent en tout temps !
Par contre convexe sur I => continu + dérivable à gauche et à droite sur l’intérieur de I
ton équivalence est vraie lorsque f est deux fois dérivable
Pour ceux qui auraient la flemme d’aller voir wikipédia : une fonction de I dans R est dite convexe ssi
\forall x,y \in I \subset \mathbb{R}, \forall t \in [0,1], f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)
Jempart a écrit:
Pour ceux qui auraient la flemme d’aller voir wikipédia : une fonction de I dans R est dite convexe ssi
\forall x,y \in I \subset \mathbb{R}, \forall t \in [0,1], f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)
Je pense qu’une approche géométrique est quand meme plus simple a aborder que cette inégalité qui n’évoque pas grand chose au premier abord. (Enfin, c’était mon avis quand j’ai découvert la convexité).
Mais moins formelle ?
brank a écrit:
[quote=« Xant »]
L’interet des fonctions convexes, c’est que toutes les tangentes a la courbe restent en dessous de la courbe. Du coup, elle vérifie certaines inégalités que tu étudieras l’année prochaine. Et sinon, une fonction f est convexe ssi f' est croissante soit f" est positive.
Donc convexe implique deux fois dérivable ?
[/quote]
Non.
Et l’équivalence introduite par Xant n’est pas valable .
C’est évident. Mais bon, comprendre l’objet qu’on étudie, meme de maniere pedestre, ca permet de faciliter ensuite l’étude formelle. Je pense notamment a l’uniforme continuité que vous allez rencontrer.
Uniforme continuité y a une interprétation géométrique?
Dans ce cas-là, je trouve que c’est surtout la comparaison des définitions de la continuité et de l’uniforme continuité qui est intéressante.
oui je tauntais un peu Xant 
mais une fonctions convexe est toujours continue,dérivable à droite et à gauche en tout point et dérivable presque partout !
La définition de Jempart géométriquement c’est qu’une fonction convexe est en dessous de ses cordes.
lionel52 a écrit:
Uniforme continuité y a une interprétation géométrique?
L’idée est surtout de comprendre plutot le principe avant de se coller a l’inégalité qui reste assez imbuvable.
Et pour l’uniforme continuité, on peut voir ca comme une condition de régularité de la courbe, qui ne doit pas subir de pentes trop importantes.
@Brank: Je crois que tu confonds concave et convexe. C’est les fonctions concaves qui sont en dessous de leurs cordes.
@anon13398965: Je crois que tu confonds concave et convexe. C’est les fonctions concaves qui sont en dessous de leurs cordes.
ah bon?
ben x.sin(1/x) c’est uniformément continu sur [0;1] et pourtant t’as toutes les pentes que tu veux
convexe = au dessus des tangentes, en dessous des cordes
Encore une fois, ma faute. La convexe est au dessus de ses tangentes mais en dessous de ses cordes ! (Faudrait que je m’y remette, le cerveau est a la traine en ce moment !)
allez puisque vous avez eu la définition(\forall x,y \in I \subset \mathbb{R}, \forall t \in [0,1], f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)) une démo que vous devrez connaitre l’an prochain et ça fait réviser la récurrence:
Montrez l’inégalité de Jansen:
si f est convexe sur I soit 
appartenant à $I$tel que 
les lambda sont tous positifs ou nuls.
montrez que 
Les lambda ne doivent pas être choisis n’importe comment non plus ! Il ne suffit pas que leur somme vale 1 !
ouais lol mais j’ai fait n’importe quoi,j’aurais du le faire en latex au lieu de coller des images
brank a écrit:
allez puisque vous avez eu la définition(\forall x,y \in I \subset \mathbb{R}, \forall t \in [0,1], f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)) une démo que vous devrez connaitre l’an prochain et ça fait réviser la récurrence:
Montrez l’inégalité de Jansen:
si f est convexe sur I soitmontrez que
Un peu dur peut être pour des fin de TS non ?