C’est de très loin pas ce qui a été posté de plus dur sur ce topic. Et ya du lourd comme KGD par exemple
Xant a écrit:
Encore une fois, ma faute. La convexe est au dessus de ses tangentes mais en dessous de ses cordes ! (Faudrait que je m’y remette, le cerveau est a la traine en ce moment !)
Fais un dessin ça coulera de source.
Au passage j’ai trouvé un site assez sympa où l’on peut trouver des exos de kholles niveau pcsi . gery.huvent.pagesperso-orange.fr … _index.htm.
Une bonne partie des exercices d’analyse sont faisables en fin de terminale .
Bon courage !
Salut,
J’ai demandé à mon prof en fin d’année la démonstration de la convergence de la série des inverses des carrés des entiers naturels non nuls, et il m’a filé un problème, que j’essaye de faire.
Tout d’abord montrer que pour tout k de IN* \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^2}\leq \frac{1}{k^2}
Ici \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}=\frac{1}{k^2+k}
Or sur IN* k>0, k^2+k>k, \frac{1}{k^2+k}<\frac{1}{k}
Mais y’a un premier problème ici, c’est que j’arrive pas a encadrer large, et je trouve ça même impossible, puisque jamais \frac{1}{k^2+k}\leq\frac{1}{k} sur IN*
Prouvons maintenant que pour tout k de IN-{0,1} \frac{1}{k^2}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x^2}
On trouve en procédant de même que $\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{k^2-k}et \frac{1}{k^2-1}< \frac{1}{k^2}$ mais là encore les inégalités sont strictes.
A partir de là on doit montrer que la limite l de la suite un=\sum_{1}^{n} \frac{1}{k^2} appartient à [1,2]
On a encadré \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^2}\leq \frac{1}{k^2}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x^2}
On somme donc de 2 à n chaque membre puisque le membre de droite n’est pas définie en 1. On a donc \frac{1}{2}< \sum_{2}^{n}\frac{1}{k^2}<1-\frac{1}{n}
En ajoutant 1 on a \frac{3}{2}< \sum_{1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n}
Donc en +oo \frac{3}{2}<un<2 et 1< \frac{3}{2}<un<2 donc l \in]1,2[
Sinon je pensais établir la limite en prenant les membres deux à deux, pour celui de gauche on aurait sommé de 1 à n et on trouvait 2 directement.
Je met la suite (sans jeu de mot) dès que j’aurais des avis. Et je pense que je vais revoir mon formulaire de trigo parce que je dois sommer du cos(kt) et du sin(kt) 
Tu sais, inégalité stricte implique inégalité large, donc il me semble pas y avoir de soucis avec ça 
Donc j’ai bon ?
Pourquoi inégalité stricte implique large ?
Ah je crois comprendre. inégalité large c’est égal OU supérieur. Donc si l’une des conditions est réalisé c’est bon. Or inégalité stricte c’est supérieur donc c’est supérieur ou égal, donc stricte implique large. Non ?
Parce qu’elle n’oblige en rien l’egalité. Tu peux dire par exemple que 1 est inferieur ou égal à 2 (c’est bête à dire, mais vrai).
J’ai fais un topo dans mon edit 
Mais en ce qui concerne l’exo, le raisonnement est juste ?
Death Cube K a écrit:
Je met la suite (sans jeu de mot) dès que j’aurais des avis. Et je pense que je vais revoir mon formulaire de trigo parce que je dois sommer du cos(kt) et du sin(kt)
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Death Cube K a écrit:
Mais en ce qui concerne l’exo, le raisonnement est juste ?
La première partie me parait juste !
Après je sais pas si tu peux dire paf en plus l’infini 1 < un < 2. Ne serait-il par plus rigoureux d’encadrer des limites ?
Si (U_n) une suite dont tous les termes sont strictement positifs admet une limite finie l en l’infini est ce que l>0 ?
brank a écrit:
Si (U_n) une suite dont tous les termes sont strictement positifs admet une limite finie l en l’infini est ce que l>0 ?
on peut avoir l=0 non ?
Ouais,c’est important ça,quand on passe à la limite une inégalité stricte elle devient large.
Soit Cn(t)=\sum_{1}^{n}cos(kt) et Sn(t)=\sum_{1}^{n}sin(kt) pour tout t \in[0,\pi] et tout n de IN-{0,1}
Calculer Cn(0), réduire Cn(t)+iSn(t) et déduire Cn(t)=\frac{sin((n)(\frac{t}{2}))cos((n+1)(\frac{t}{2}))}{sin(\frac{t}{2})} pour tout t \in]0,\pi]
Je trouve pour commencer Cn(0)=\frac{n(n+1)}{2} et Cn(t)+iSn(t)=e^{it}\frac{1-e^{itn}}{1-e^{it}}
Est-ce juste ?
EDIT : donc finalement c’est bon ou pas ? laurandi je vois pas ce que tu veux dire, mais les sommes je les ai calculé avant, tout découle d’autre chose, rien n’arrive par miracle. Mais c’est le coup des inégalités strictes/larges que je comprends pas
EDIT2 : brank je suis pas d’accord, ici un est strictement positif pour tout n de IN*, donc normalement même en +oo ça ne sera jamais égale à 2 ou 1 non ?
cos(0)=1 donc Cn(0)=n non ???
Strelok a écrit:
cos(0)=1 donc Cn(0)=n non ???
Oui, c’est ça.
\sum _{k = 2} ^{n} \int _{k} ^{k+1} \frac {1}{x^{2}}dx =\int _{2}^{n+1} \frac{1}{x^{2}}dx = [- \frac{1}{x}] _{2}^{n+1} = - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2}
Donc pourquoi 1/2 à gauche de ton inégalité ?
Ensuite, je pense que tu dois écrire ton inégalité comme ça, puis passer à la limite (en justifiant que l existe d’abord, non ?)
Ah oui mince j’ai cru que Cn(0) était la somme des entiers naturels non nuls.
Pour Cn(t)+iSn(t) c’est bon ?
laurandi je comprends pas ce que t’écris, pourquoi c’est l’intégrale de 2 à n+1 ?
Death Cube K a écrit:
laurandi je comprends pas ce que t’écris, pourquoi c’est l’intégrale de 2 à n+1 ?
Meme avec ta méthode… Tu calcules la somme de 2 à n non ?
\sum _{2} ^{n} -\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k} donc.
Chaque - 1 / (k+1) s’annule avec le 1 / k qui le suit. Mais du coup, il reste le dernier, - 1 / (n+1).
Ah oui, j’ai fais une erreur. Mais ma méthode marche ? Parce que c’est pas prouvé, au pire je fais une récurrence.
Pour Cn(t)+iSn(t) c’est bon ?