Sisi ça marche 
Mais donc on a :
1 - 1/(n+1) <= Un <= 2 - 1/n
donc (si Un a une limite l) : lim n->+oo 1- 1/(n+1) <= l <= lim n->+oo 2 - 1/n
ie 1 <= l <= 2
Voilà c’est ça, par contre pourquoi tu encadres large ?
On a dit tout à l’heure que quand on passe à la limite les inégalité deviennent larges. Par exemple, pour tout n dans IN*, 1/n > 0, et pourtant lim n->+oo 1/n = 0.
Je reposte l’exo
lionel52 a écrit:
Allez un classique :
- Soit (Un) une suite réelle convergente vers un réel L. Montrer que Vn = (U0+…+Un)/n converge vers L. (lemme de Césaro)
- Si (Un) vérifie Un+1 - Un → L alors quelle est la limite de Vn = Un/n?
- Et pour les plus tenaces : on pose U0 = 1, Un = sin(U(n-1)), déterminer la limite de (Un), chercher a tel que Un+1^a - Un^a converge vers une limite non nulle et en déduire la limite de sqrt(n)Un
lionel52 a écrit:
Je reposte l’exo
[quote=« lionel52 »]
Allez un classique :
- Soit (Un) une suite réelle convergente vers un réel L. Montrer que Vn = (U0+…+Un)/n converge vers l. (lemme de Césaro)
- Si (Un) vérifie Un+1 - Un → L alors quelle est la limite de Vn = Un/n?
- Et pour les plus tenaces : on pose U0 = 1, Un = sin(Un-1), déterminer la limite de (Un), chercher a tel que Un+1^a - Un^a converge vers une limite non nulle et en déduire la limite de sqrt(n)Un
[/quote]
Bon je le dis d’avance j’ai pas beaucoup dormi donc si je dis des grosses conneries …
1/ On a \displaystyle\lim_{n\to\infty} = L. Donc plus n est grand, plus L-u_n est petit ! On note \epsilon(n) = L-u_n d’où u_n = L-\epsilon(n). On a donc \displaystyle v_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}u_k d’où \displaystyle v_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(L-\epsilon(k)) d’où \displaystyle v_n = \frac{1}{n}.L.n.-\sum_{k=0}^{n}\epsilon(k) donc \displaystyle v_n = L-\sum_{k=0}^{n}\epsilon(k)
Or \displaystyle\lim_{n\to\infty}\epsilon(n) = \lim_{n\to\infty} L-u_n = 0.
d’où \displaystyle\lim_{n\to\infty} v_n = \lim_{n\to\infty} L-\sum_{k=0}^{n}\epsilon(k) = l
Désolé, ça ne marche pas.
D’ailleurs ce n’est pas vraiment un exercice de pré rentrée mpsi…
Césaro c’est pas un truc qui est tombé à l’X?
En première question, ouais, mais c’est facile, on le voit généralement en sup.
Dohvakiin a écrit:
Césaro c’est pas un truc qui est tombé à l’X?
C’est pas parce qu’un truc tombe à l’X que c’est dur et de même c’est pas parce que ça tombe à CCP/centrale que c’est facile.En plus dans tous les sujets ya des tucs triviaux.
Césaro c’est pas non plus très facile, même à l’x… c’est un classique c’est tout
JeanN a écrit:
Désolé, ça ne marche pas.
D’ailleurs ce n’est pas vraiment un exercice de pré rentrée mpsi…
Vous pouvez m’en dire plus ?
c’est pas parce qu’on somme des trucs qui tendent vers 0 qu’on obtient un truc qui tend vers 0 ou même un truc fini
Césaro ca tombe même en question de cours à e3a.
C’est pas une évidence, mais c’est qqchose de vu donc…
kledou tu parles à un enseignant t’es pas à l’X tu peux le vouvoyer c’est la moindre des choses.
Sinon pour cesaro,c’est un des rares cas où on revient à la définition de la limite avec les « epsilon » .
brank a écrit:
kledou tu parles à un enseignant t’es pas à l’X tu peux le vouvoyer c’est la moindre des choses.
Faut arrêter de déconner…
brank a écrit:
kledou tu parles à un enseignant t’es pas à l’X tu peux le vouvoyer c’est la moindre des choses.
Sinon pour cesaro,c’est un des rares cas où on revient à la définition de la limite avec les « epsilon » .
Désolé, j’ai pas fait gaffe
@JeanN : je suis désolé de vous avoir tutoyer.
lionel52 a écrit:
- Et pour les plus tenaces : on pose U0 = 1, Un = sin(Un-1), déterminer la limite de (Un), chercher a tel que Un+1^a - Un^a converge vers une limite non nulle et en déduire la limite de sqrt(n)Un
On va montrer que u converge.
On détermine d’abord le signe de u(n+1)-u(n) pour n entier naturel:
u(n+1)-u(n) = sin(u(n)-1)-u(n)
On étudie la fonction f définie par f(x) = sin(x-1)-x. f est dérivable sur IR et f’(x) = cos(x-1)-1 <= 0. Ainsi f est décroissante. De plus, on montre aisément par récurrence que u(n)€[-1;1], et f(-1) = sin(-2)-1 <= 0 (à la calculette ou en remarquant que -2 n’est pas congru à \frac{\pi}{2} modulo 2\pi. Ainsi pour tout n sin(u(n)-1)-u(n) = u(n+1)-u(n) <= 0, donc u décroît. On a aussi vu que u(n) appartenait à [-1;1], et ainsi -1 minore u(n). On en déduit que u converge vers une limite réelle l tq l = sin(l-1)
Et là euh… J’y arrive pas 
…
U(n-1) soit logique même si c’est mal écrit 
blobixx et la réciproque est vrai?
si (V_n) tend vers l est ce que (U_n) tends vers l ?
J’ai supprimé mon message car je n’avais pas vu que les deux limites devaient être identiques.