Mais c’était une bonne idée ton truc (j’ai lu en diagonale) essaye déjà avec l=0 si tu veux
kledou a écrit:
[quote=« brank »]
kledou tu parles à un enseignant t’es pas à l’X tu peux le vouvoyer c’est la moindre des choses.Sinon pour cesaro,c’est un des rares cas où on revient à la définition de la limite avec les « epsilon » .
Désolé, j’ai pas fait gaffe
@anon48257879 : je suis désolé de vous avoir tutoyer.
[/quote]
Y a pas de mal 
lionel52 a écrit:
U(n-1) soit logique même si c’est mal écrit
Ah mince, j’ai lu trop vite… C’est vrai que le -1 dans un sinus ça m’a paru bizarre mais bon, désolé ^^.
lionel52 a écrit:
c’est pas parce qu’on somme des trucs qui tendent vers 0 qu’on obtient un truc qui tend vers 0 ou même un truc fini
Exactement. Les futurs MPSI, pour vous en convaincre, pensez à la suite harmonique, on minore ça par une intégrale qui diverge en + \infty.
Strelok a écrit:
Césaro ca tombe même en question de cours à e3a.C’est pas une évidence, mais c’est qqchose de vu donc…
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…
Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
Adolorante a écrit:
[quote=« lionel52 »]
c’est pas parce qu’on somme des trucs qui tendent vers 0 qu’on obtient un truc qui tend vers 0 ou même un truc fini
Exactement. Les futurs MPSI, pour vous en convaincre, pensez à la suite harmonique, on minore ça par une intégrale qui diverge en + \infty.
Strelok a écrit:
Césaro ca tombe même en question de cours à e3a.C’est pas une évidence, mais c’est qqchose de vu donc…
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…
Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
[/quote]
On sait que la fonction f(x) = 0 est dérivable et f'(x) = f(x) donc la fonction f(x) = 0 est infiniment dérivable.
Si p(x) est une fonction polynomiale de degré n.
p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kx^k.
On peut donc dire que p^{(n)}(x) = a_n.n! .
On a donc p^{(n+1)}(x) = 0.
Or, la fonction nulle est infiniment dérivable.
On peut montrer donc par récurrence que p^{(n+k)}(x) = 0 avec k \in \mathbb{N}
d’où le fait qu’une fonction polynomiale est infiniment dérivable.
GNE
kledou a écrit:
On peut donc dire que p^{(n)}(x) = a_n.n!
gné ?
Adolorante a écrit:
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…
Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
Et en plus c’est détaillé:
c’est vrai mais ça ne prouve rien
La démonstration est intuitive, simple… c’est la rédaction qui pose problème.
kledou a écrit:
[quote=« Adolorante »]
[quote=« lionel52 »]
c’est pas parce qu’on somme des trucs qui tendent vers 0 qu’on obtient un truc qui tend vers 0 ou même un truc fini
Exactement. Les futurs MPSI, pour vous en convaincre, pensez à la suite harmonique, on minore ça par une intégrale qui diverge en + \infty.
Strelok a écrit:
Césaro ca tombe même en question de cours à e3a.C’est pas une évidence, mais c’est qqchose de vu donc…
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…
Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
[/quote]
On sait que la fonction f(x) = 0 est dérivable et f'(x) = f(x) donc la fonction f(x) = 0 est infiniment dérivable.
Si p(x) est une fonction polynomiale de degré n.
p(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kx^k.
On peut donc dire que p^{(n)}(x) = a_n.n! .
On a donc p^{(n+1)}(x) = 0.
Or, la fonction nulle est infiniment dérivable.
On peut montrer donc par récurrence que p^{(n+k)}(x) = 0 avec k \in \mathbb{N}
d’où le fait qu’une fonction polynomiale est infiniment dérivable.
[/quote]
Bah en fait, en premiere, on a vu une propriété qui disait qu’une fonction polynomiale de degré n était dérivable n fois avant d’avoir une dérivée nul. Je me suis appuyé sur ça.
Est ce que tu peux donner les « pré-requis » ? s’il te plait
Bah… Pas besoin de pré-requis. En revanche, je peux donner plusieurs pistes pour le démontrer.
Récurrence sur le degré du polynôme ?
Récurrence sur la dérivée n-ième ?
Mais déjà, ta démonstration est fausse, rien pour le fait que p^{(n+k)}(x) = 0 est valable à condition que k \in \mathbb{N}^* (cas k = 0 exclus). Puis il faut encore démontrer que p^{(n)}(x) = a_nn!, c’est trop facile de le dire.
Strelok a écrit:
[quote=« Adolorante »]
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
Et en plus c’est détaillé:
e3a.fr/docs/2008/psi_math_a_2008.pdf
[/quote]
Ah oui, mais c’est pour les PSI… 
Plus sérieusement, quand t’as dit que c’était détaillé, je m’attendais à pire (genre établir un encadrement, démontrer le cas l = 0, etc…).
Re,
Est-ce possible d’établir la dérivabilité en 1 de f(x)=ln/(x-1) seulement avec les inégalités de Neper ? Dans un exo mon prof fait différemment, il trouve f’(1)=1/2 et moi quand j’utilise ces inégalités je trouve pas ça 
Adolorante a écrit:
[quote=« Strelok »]
[quote=« Adolorante »]
Césaro, en question de cours ? Bon, je ne demande pas à avoir Bolzano en question de cours, mais s’il y a une démonstration ultra-intuitive, c’est bien elle…Un exercice simple : montrer (au moins de deux façons) que toute fonction polynomiale est infiniment dérivable.
Et en plus c’est détaillé:
e3a.fr/docs/2008/psi_math_a_2008.pdf
[/quote]
Ah oui, mais c’est pour les PSI… Plus sérieusement, quand t’as dit que c’était détaillé, je m’attendais à pire (genre établir un encadrement, démontrer le cas l = 0, etc…).
[/quote]
Ben c’est le cas.
lionel52 a écrit:
- Et pour les plus tenaces : on pose U0 = 1, Un = sin(Un-1), déterminer la limite de (Un), chercher a tel que Un+1^a - Un^a converge vers une limite non nulle et en déduire la limite de sqrt(n)Un
Pour la convergence:
Par récurence, on montre que 0< U_n\le 1
On a bien 0< U_0\le 1 donc la relation est vraie au premier rang. Supposons qu’elle l’est au rang n et montrons qu’elle reste vraie au rang n+1.
0< U_n\le 1 \Leftrightarrow sin(0)< sin(U_n)\le sin(1) \Leftrightarrow 0< U_{n+1}\le 1
donc \forall n\in\mathbb{N}, 0< U_n\le 1
Montrons maintenant que U_n est décroissante.
U_{n+1}=sin(U_n) donc U_{n+1}> 0
\displaystyle \frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{sin(U_n)}{U_n}. Comme $0< U_n\le 1$alors 0< sin(U_n)\le sin(1)<1
donc \frac{U_{n+1}}{U_n}<1 donc U_n est décroissante. Comme U_n est aussi minorée, elle converge.
Notons l sa limite. En +\infty on U_n=U_{n-1}=l donc l vérifié l=sin(l). Posons g(x)=sin(x)-x définie sur \mathbb{{R+}}. g est dérivable et $g’(x)=cos(x)-1\le 0$donc g est décroissante sur \mathh{{R+}} et on a g(0)=0 donc l=sin(l) \Leftrightarrow l=0
Death Cube K a écrit:
Re,
Est-ce possible d’établir la dérivabilité en 1 de f(x)=ln/(x-1) seulement avec les inégalités de Neper ? Dans un exo mon prof fait différemment, il trouve f’(1)=1/2 et moi quand j’utilise ces inégalités je trouve pas ça
C’est bien f(x)=ln(x-1) ? Dans ce cas, la fonction n’est pas définie en 1 non ? Donc pas dérivable.
C’est juste mais quand même quelques précisions histoire de chipoter un peu :
-
d’une part je comprendrai jamais pourquoi les TS mettent des signes d’équivalence à outrance comme si ça rendait la rédac plus rigoureuse
0 <= Un <= 1 est loin d’être équivalent à 0 <= sin(Un) <= 1
Un « donc » suffit -
On a le droit de passer à la limite Un = sin(Un) car la fonction sin est continue ! (c’est pas vraiment dit dans le programme de TS mais je pense que vous avez déjà eu ce genre de passage à la limite cette année)
-
Evite de faire Un+1/Un ça n’apporte pas grand chose ici
-
Et si l € R-?
lionel52 a écrit:
C’est juste mais quand même quelques précisions histoire de chipoter un peu :
d’une part je comprendrai jamais pourquoi les TS mettent des signes d’équivalence à outrance comme si ça rendait la rédac plus rigoureuse
0 <= Un <= 1 est loin d’être équivalent à 0 <= sin(Un) <= 1
Un « donc » suffitOn a le droit de passer à la limite Un = sin(Un) car la fonction sin est continue ! (c’est pas vraiment dit dans le programme de TS mais je pense que vous avez déjà eu ce genre de passage à la limite cette année)
Evite de faire Un+1/Un ça n’apporte pas grand chose ici
Et si l € R-?
1/ Justement ils n’ont pas fait de cours de logique, et donc essaient de faire ce qu’ils pensent être le mieux.
C’est après coup qu’on se rend compte qu’utiliser des mots est souvent mieux.
2/ Je crois que si.
3/ +1
Strelok a écrit:
Ben c’est le cas.
Au temps pour moi, là c’est vraiment étrange.
Sinon Césaro y a la démo simple et courte (dans le cas où L est non nul) où Somme Partielle ~ Somme L dans le cas divergence des séries
Oui, c’est une sommation des relations de comparaisons dans le cas de divergence, ce qui est au programme (en MP au moins) et qui évite la démonstration « classique » avec les epsilons qui est « contenu » dans la démonstration du théorème qu’on utilise…