Exercices de MPSI

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
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Hors programme en PSI/PC.

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Je propose pour ceux qui comme moi entre en sup dans quelques semaines, de démontrer les égalités suivantes :

A \sum_{d=0}^r d^3 = ( \sum_{d=0}^r d )^2

B cos^2(p) - sin^2(p) = cos^4(p) - sin^4(p)

Singulière les lettres choisies… :smiling_imp: (pitoyable pour désorienter de futurs taupins en effet)

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Nan je parlais de ln(x)/(x-1)

Avec les inégalités de Neper qui disent que (x-1)/x<lnx<x-1

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lionel52 a écrit:

C’est juste mais quand même quelques précisions histoire de chipoter un peu :

  • d’une part je comprendrai jamais pourquoi les TS mettent des signes d’équivalence à outrance comme si ça rendait la rédac plus rigoureuse :stuck_out_tongue: 0 <= Un <= 1 est loin d’être équivalent à 0 <= sin(Un) <= 1
    Un « donc » suffit

  • On a le droit de passer à la limite Un = sin(Un) car la fonction sin est continue ! (c’est pas vraiment dit dans le programme de TS mais je pense que vous avez déjà eu ce genre de passage à la limite cette année)

  • Evite de faire Un+1/Un ça n’apporte pas grand chose ici

  • Et si l € R-?

  1. On me l’avait déjà dit en plus :blush:

  2. Je savais pas qu’il fallait le dire. Je ne suis pas vraiment au point sur tout ce qui continuité :s

  3. comment montrer que U_n est décroissante alors ?

  4. U_n est positive donc elle converge vers une limite positive non ?
    Death Cube K a écrit:

Nan je parlais de ln(x)/(x-1)

Avec les inégalités de Neper qui disent que (x-1)/x<lnx<x-1
Cette fonction n’est pas définie en 1 donc pas dérivable.

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Ah en plus j’ai mal lu elle est complètement fausse ta démo pour dire que sin(Un)/Un < 1 … à moins que j’ai mal compris :smiley:

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lionel52 a écrit:

Ah en plus j’ai mal lu elle est complètement fausse ta démo pour dire que sin(Un)/Un < 1 … à moins que j’ai mal compris :smiley:
comme 0<U_n<1 c’est bon non ?

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Répète comment tu raisonnes

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Désolé on précise que aussi f(1)=1

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lionel52 a écrit:

Répète comment tu raisonnes
Aie je sens que j’ai dit une boulette :stuck_out_tongue:
0<U_n\le 1 \Rightarrow 0<\frac{1}{U_n}\le 1 et 0<sin(U_n)\le sin(1)<1 donc par produit$0<\frac{sin(U_n)}{U_n}<1$

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Il me semble que 0 < 0.5 <= 1 et que 1/0.5 > 1 :slight_smile:

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Exact, exact … bon bah j’ai tout faux :stuck_out_tongue:

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Non mais la démo par récurrence de 0=<un=<1 est inutile non ?
Il suffit de voir que au rang 0 c’est bon, et après on a un sinus qui est toujours entre -1 et 1. Or sin est entre 0 et 1 pour les antécédents entre 0 et pi donc à fortiori entre 0 et 1.

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Le problème là c’est que ma démo sur la décroissance de U_n est fausse non ?

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Oui oui la méthode usuelle c’est d’étudier sin(x)-x (ou niveau maths sup d’utiliser des arguments de convexité)

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C’est ce que j’ai fait mais à la fin pour trouver l. Avant faut prouver la convergence non ?

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C’est pour la décroissance de la suite que tu utilises les variations de sin(x)-x

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Ah oui ! U(n+1) -Un = sin(Un) - Un ! J’ai pas pensé à l’etude de la fonction à ce moment là :confused:

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Je propose comme exercice plutôt sympa:

intégrale (e^x)(cos x) dx

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Blobixx a écrit:

Le problème là c’est que ma démo sur la décroissance de U_n est fausse non ?
Ouais dsl j’avoue lire 1/3 du contenu des posts.

EDIT: Pour sin(un)/un=<1 on peut parler de sinc quoique…

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salut123 a écrit:

Je propose comme exercice plutôt sympa:

intégrale (e^x)(cos x) dx
Avec 2 IPP je trouve \int e^xcos(x)dx = \frac{1}{2}(sin(x)e^x + cos(x)e^x)