aloqsin a écrit:
[spoiler]Blobixx : J’ai pas trop saisi à ce niveau :
Or \displaystyle{\sum_{d=0}^r (d+1)^2-d^2 = (r+1)^2 -1} et \displaystyle{\sum_{d=0}^r 1 = r}
\displaystyle{\sum_{d=0}^r (d+1)^2-d^2 = (r+1)^2} par simplification télescopique, notion qu’un Terminale n’est pas censé maîtriser.
\displaystyle{\sum_{d=0}^r 1 = r+1} car on part de l’indice 0.
J’ai l’impression qu’il y a un 1 ce balade, sinon le reste à l’air bon, je n’ai pas essayer : c’est trop fastidieux.
Bref, il y a plus simple. 
[/spoiler]
Ah oui l’indice 0 !
C’est mon prof’ dans l’année qui nous avait montrer cette méthode. Et la simplification est utilisée en Terminale. Par exemple pour calculer$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$ et même au sujet du bac il me semble il y avait un truc du genre
PS: j’ai corrigé mon message
[spoiler]
Blobixx a écrit:
Ah oui l’indice 0 !
C’est mon prof’ dans l’année qui nous avait montrer cette méthode. Et la simplification est utilisée en Terminale. Par exemple pour calculer$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$ et même au sujet du bac il me semble il y avait un truc du genre
PS: j’ai corrigé mon message
Maintenant que je me souviens, tu as raison ! Mais ce n’est pas explicitement au programme, on écrit en fait la somme sans le Sigma et on simplifie. 
[/spoiler]
Dohvakiin a écrit:
[quote=« aloqsin »]
Je propose pour ceux qui comme moi entre en sup dans quelques semaines, de démontrer les égalités suivantes :
A \sum_{d=0}^r d^3 = ( \sum_{d=0}^r d )^2
B cos^2(p) - sin^2(p) = cos^4(p) - sin^4(p)
Singulière les lettres choisies… 
(pitoyable pour désorienter de futurs taupins en effet)
A: on montre rapidement par récurrence que la première somme est égale à \frac{r^{2}(r+1)^{2}}{4} et que celle de droite est égale à \frac{r(r+1)}{2} d’où le résultat
B: $cos^4(p)-sin^4(p)=(cos^2(p)-sin^2(p))(cos^2(p)+sin^2(p))$$=cos^2(p)-sin^2(p)$
[/quote]
Comment tu as fait par récurrence ?!
Yop
Désolé je m’avance pas sur les exos de débuts de sup’ tant que je maitrise pas parfaitement mon cours de TS :
J’arrive pas à comprendre la démo qui montre que \mid z+z'\mid \leq \mid z\mid +\mid z'\mid
En effet on prend M et N d’affixes respectives z et -z’, et on on montre que l’inégalité triangulaire amène à NM<NO+OM soit $\mid z-(-z’)\mid \leq \mid -(-z)'\mid +\mid z\mid$donc \mid z+z'\mid \leq \mid z\mid +\mid z'\mid
Donc si z=2 et z’=-3i alors on a$\mid 2+3i\mid \leq \mid 2\mid +\mid 3i\mid$ mais 2+3i est différent de z+z’…
Je comprends pas en quoi c’est valable pour tout z et z’, puisque la démo montre qu’on doit prendre -z’ et pas z’
kledou a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
[quote=« aloqsin »]
Je propose pour ceux qui comme moi entre en sup dans quelques semaines, de démontrer les égalités suivantes :
A \sum_{d=0}^r d^3 = ( \sum_{d=0}^r d )^2
B cos^2(p) - sin^2(p) = cos^4(p) - sin^4(p)
Singulière les lettres choisies… (pitoyable pour désorienter de futurs taupins en effet)
A: on montre rapidement par récurrence que la première somme est égale à \frac{r^{2}(r+1)^{2}}{4} et que celle de droite est égale à \frac{r(r+1)}{2} d’où le résultat
B: $cos^4(p)-sin^4(p)=(cos^2(p)-sin^2(p))(cos^2(p)+sin^2(p))$$=cos^2(p)-sin^2(p)$
[/quote]
Comment tu as fait par récurrence ?!
[/quote]
Euh je connais les formules à force de les voir et donc je mets qu’on les montre par récurrence parce que je sais que c’est possible, c’est juste fastidieux et j’ai la flemme 
kledou a écrit:
[quote=« Dohvakiin »]
A: on montre rapidement par récurrence que la première somme est égale à \frac{r^{2}(r+1)^{2}}{4} et que celle de droite est égale à \frac{r(r+1)}{2} d’où le résultat
B: $cos^4(p)-sin^4(p)=(cos^2(p)-sin^2(p))(cos^2(p)+sin^2(p))$$=cos^2(p)-sin^2(p)$
Comment tu as fait par récurrence ?!
[/quote]
Montrons par récurrence que \displaystyle{\sum_{d=0}^r d^3 = \frac{r^2(r+1)^2}{4}}
Pour r=1, \displaystyle{\sum_{d=0}^r d^3 = 0^3 + 1^3 =1 } et \frac{1^2(1+1)^2}{4}=1 donc relation vraie au rang 1.
Supposons qu’elle est vraie au rang r et montrons qu’elle est au rang r+1.
\displaystyle{\sum_{d=0}^r d^3 = \frac{r^2(r+1)^2}{4}} \Rightarrow \displaystyle{\sum_{d=0}^r d^3 + (r+1)^3 = \frac{r^2(r+1)^2}{4}} + (r+1)^3 \Rightarrow \displaystyle{\sum_{d=0}^{r+1} d^3 = \frac{r^2(r+1)^2+4(r+1)^3}{4}} $\Rightarrow \displaystyle{\sum_{d=0}^{r+1} d^3 = \frac{(r+1)^2(r^2+4(r+1)}{4}}$$\Rightarrow \displaystyle{\sum_{d=0}^{r+1} d^3 = \frac{(r+1)^2(r+2)^2}{4}} donc la relation est héditaire
donc \forall r\in\mathbb{N}, \displaystyle{\sum_{d=0}^r d^3 = \frac{r^2(r+1)^2}{4}}$
La méthode de Dohvakiin est la meilleure.
Trouver la formule de la somme des k de 1 à n est une évidence et se fait sans récurrence:
On note cette somme S
Alors S=1+2+3+…+n et S=n+(n-1)+…+2+1
Donc 2S=n(n+1) d’où S
On voit donc qu’il faut montrer que sum(k^3,k=0..n)=n²(n+1)²/4
D’où l’hypothèse de récurrence qu’on prend et qu’on montre facilement.
Alors que la technique utilisée par Blobixx est bien moins évidente a voir.
Strelok : C’est la méthode que j’attendais. Merci. 
Personnellement, j’aurai fais comme Dohvakiin mais comme aloqsin a demandé une démo’ façon « sup » bah j’ai proposé ça.
Blobixx a écrit:
Personnellement, j’aurai fais comme Dohvakiin mais comme aloqsin a demandé une démo’ façon « sup » bah j’ai proposé ça.
Non justement, il lui reproche de la démontrer comme un sup.
Remarque que je ne comprends pas d’ailleurs.
En DS j’aurais détaillé (au début de l’année en tout cas), mais là c’est les vacances et je suis sur mon téléphone donc une demi-heure de Latex, très peu pour moi ^^.
Un TS devrait connaitre les suites arithmétiques et en déduire que \sum_{d=0}^r d = \frac{r(r+1)}{2} en notant comme l’a fait Strelok cette somme S : S = \sum_{d=0}^r d= \sum_{d=0}^r r-d
On en déduit que 2S = r(r+1) d’où \sum_{d=0}^r d = \frac{r(r+1)}{2}
Par conséquent ( \sum_{d=0}^r d )^2 = \frac{r^2(r+1)^2}{4}
Il s’agit de démontrer une égalité qui est très certainement vrai, il ne faut pas non plus être vache. Il semble donc que \sum_{d=0}^r d^3 = \frac{r^2(r+1)^2}{4} que l’on démontre par récurrence comme l’a fait Blobixx (un TS devrait aussi savoir le faire).
Voilà ce que j’attendais. C’est un bon exercice n’est-ce pas ?
en fait t’es déjà prof aloqsin ?
Pourquoi vous chercher la série des entiers naturels au carré ? Fin j’suis mal placé là mais c’est ultra facile de mettre n(n+1)/2 au carré non ?
D’ailleurs la première question de mon premier exo de maths de l’année c’est justement trouver la somme des d^3.
C’était pour
aloqsin a écrit:
Je propose pour ceux qui comme moi entre en sup dans quelques semaines, de démontrer les égalités suivantes :
A \sum_{d=0}^r d^3 = ( \sum_{d=0}^r d )^2
B cos^2(p) - sin^2(p) = cos^4(p) - sin^4(p)
Singulière les lettres choisies… (pitoyable pour désorienter de futurs taupins en effet)
Bon je reprends.
Quelqu’un peut m’aider à trouver une primitive de ces 2 fonctions :
\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^3}
ln\mid-2x+3 \mid
Pour la deuxième j’ai fais une IPP mais je trouve en second membre \int \frac{-2x}{-2x+3} et je sais pas primitiver ça
Merki
EDIT : En parlant de somme en ce moment j’essaye de résoudre le problème amenant à \sum_{1}^{n}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi ^2}{6}
