Blobixx a écrit:
J’ai trouvé un exo sur internet et je voulais savoir si j’ai bon.
Trouver toutes les applications f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} /\forall (x;y)\in\mathbb{R}^2, f(x)f(y)=f(x)+f(y)
si x=y=0 alors (f(0))^2 = 2f(0) \Rightarrow f(0)=0
si x\neqy=0 alors f(x)f(0)=f(x)+f(0) \Rightarrow f(x)=0
Réciproquement, la fonction f(x)=0 vérifie l’équation.
Tout simplement:
Si x=y alors f(x)²=2f(x)
Donc f(x)=0 ou f(x)=2.
EDIT: Ceci si f est continue.
Car sinon on pourrait avoir une fonction qui fait 0 2 0 2 0 2 etc.
Par exemple f(x)=0 si x rationnel et 2 si x irrationnel ca satisfait f(x)²=2f(x) mais c’est pas les fonctions constantes égales à 0 ou 2.
wolframalpha.com/input/?i=in … 8pi%2F2%29
Là je rage.
J’ai repris mon résultat, que j’ai du relinéariser ce qui donne à la fin une décomposition en 6 intégrales, et je trouve 3pi^2/64 - 1/4
Dck, tu me scan ta feuille de primitive s’il te plait ? 
Strelok a écrit:
[quote=« Blobixx »]
J’ai trouvé un exo sur internet et je voulais savoir si j’ai bon.
Trouver toutes les applications f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} /\forall (x;y)\in\mathbb{R}^2, f(x)f(y)=f(x)+f(y)
si x=y=0 alors (f(0))^2 = 2f(0) \Rightarrow f(0)=0
si x\neqy=0 alors f(x)f(0)=f(x)+f(0) \Rightarrow f(x)=0
Réciproquement, la fonction f(x)=0 vérifie l’équation.
Tout simplement:
Si x=y alors f(x)²=2f(x)
Donc f(x)=0 ou f(x)=2.
EDIT: Ceci si f est continue.
Car sinon on pourrait avoir une fonction qui fait 0 2 0 2 0 2 etc.
Par exemple f(x)=0 si x rationnel et 2 si x irrationnel ca satisfait f(x)²=2f(x) mais c’est pas les fonctions constantes égales à 0 ou 2.
[/quote]
Tu oublies la condition à respecter: \forall (x;y)\in\mathbb{R}^2, f(x)f(y)=f(x)+f(y)
Etudier seulement le cas x=y n’est pas suffisant.
Quelques tables de primitives trouvées sur Internet : ici et ici
Si j’ai bien compris ce que tu dit, f est une fonction constante… L’équation à résoudre est donc c² = 2c, ce qui a déjà été fait, non ?
Donc le problème est résolu ?!
Tu supposes ta fonction dérivable… On pourrait démontrer qu’elle est infiniment dérivable si elle était continue, mais la fonction n’est pas, dans l’énoncé, supposé continue. Faut voir si on peut le démontrer 
Oula ça devient compliquer pour moi ! 
Je suis désolé je ne suis absolument pas familier du Latex donc je vais faire de mon mieux pour être clair :
-
On montre que pour tout x réel, f(x) est différent de 1, ce que tu as fait.
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Avec cela on obtient que pour tout x,y réels on a f(y) = f(x) / ( f(x) - 1 ), on a donc séparé y et x, ce qui prouve que f est constante sans utiliser l’hypothèse dérivable
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Ensuite on en déduit que f est constante valant 0 ou 2, la réciproque étant immédiate.
D’accord merci. C’est moins compliqué que je ce que je pensais ! (heureusement)
on a donc séparé y et x, ce qui prouve que f est constante sans utiliser l’hypothèse dérivable
C’est bon à savoir ça.
Par exemple on peut fixer x réel, on a alors pour tout y, f(y) = f(x) /( f(x) - 1 ) = cte car x est fixé, donc f est constante. Bon courage pour la suite en tout cas, SL c’est le BIEN
Et f(x+y)=f(x)f(y)? Pour f continue? ca donne quoi d’apres vous?
Ca donne les x-> exp(a*x) pour a un réel quelconque. Mais c’est un peu chaud a démontrer seul en sortant du bac.
L’equation de ce genre la plus courante est f(x+y)=f(x)+f(y), avec f continue. Un bon exo de terminale est de trouver toutes les solutions derivables, déjà.
Déjà donné je crois.
kledou dommage d’avoir effacé ton post.