Ce sont les fonctions puissances non ? Du type f(x)=a^x
Strelok a écrit:
Déjà donné je crois.
kledou dommage d’avoir effacé ton post.
Sérieux, c’était bon ?
Je le remets alors.
f(x) = a^{bx} avec (a;b)\in\mathbb{R}^*^2
Vous savez si c’est utile d’apprendre les formules métriques genre Cauchy-Schwarz, formule de Héron, démo du théorème de la médiane, Al Kashi, etc…
Parce que je viens de commencer le produit scalaire/géométrie dans l’espace et ça me gave déja.
Révise pas la géométrie, c’est nul ! 
Plus sérieusement, j’en connais aucune sauf Al Kashi. 
a^bx est equivalent à a^x. Mais c’est la demo l’important! (Et il reste la fonction nulle)
Je la tente go o/
si y=0, f(x)=f(x)f(0) \, \Rightarrow f(x)=0 ou f(0)=1 donc la fonction nulle solution et les autres solutions vérifient f(0)=1.
C’est tout ce qu j’ai montré pour l’instant 
Je propose de changer l’énoncé pour le rendre plus accessible pour des futurs sup :
f n’est plus supposée continue mais** DERIVABLE EN 0**
Bon tout d’abord, on a f(x+y) = f(x)f(y).
Etudions le cas tout d’abord où y = 0 : on a donc f(x) = f(x)f(0) d’où f(0) = 1
Ensuite, regardons le cas où y = -x : on a donc f(0) = f(x)f(-x) d’où f(x) =\frac{1}{f(-x)}( hmm, ça ressemble à la fonction exponentielle tout ça 
)
Ensuite, regardons le cas où x = y : on a donc f(2x) = f(x)^2.
On peut conjecturer que : \forall n\in\mathbb{N} f(nx) = f(x)^n.
On peut le démontrer par récurrence aisément ! ( propriété vraie quand n = 0 puis hypothèse ect … ).
Ensuite, on peut s’appuyer sur ce qu’on a montré précédemment : f(x) = \frac{1}{f(-x)}. On a donc f(-x) = \frac{1}{f(x)} d’où f(-nx) = \frac{1}{f(nx)} donc f(-nx) = \frac{1}{f(x)^n} = {f(x)}^{-n}
On peut maintenant voir que 1 = n.\frac{1}{n} donc f(1) = f(n.\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})^n. d’où f(\frac{1}{n}) = f(1)^{\frac{1}{n}}
Regardons maintenant comment réagit notre fonction si x est un nombre rationnel donc si x = \frac{a}{b} avec (a;b)\in\mathbb{Z}^2 : on a f(x) = f(\frac{a}{b}) = f(a\frac{1}{b}) = f(\frac{1}{b})^a.
Or f(\frac{1}{n}) = f(1)^{\frac{1}{n}}, d’où f(\frac{1}{b})^a = f(1)^{\frac{a}{b}
On admet que f(1) = p. On sait que f(1) est un réel.
On a donc f(x) = p^x quand x est un rationnel. Le problème est ici, j’arrive pas à étendre à x un réel.
Avec le temps que j’ai pris pour réfléchir et écrire ma « réponse », la véritable réponse sera d’ja là depuis bien longtemps.
EDIT : je l’ai fait en admettant que f est continue seulement …
EDIT 2 : Petit erreur dans le \LaTeX
lionel52 a écrit:
Et f(x+y)=f(x)f(y)? Pour f continue? ca donne quoi d’apres vous?
On cherche les fonctions continues f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} vérifiant pour tous réels x et y f(x+y) = f(x)f(y).
On a pour tout réel x f(x) = f(0)f(x). Si f(0)=0, alors f est identiquement nulle. Si f(0) != 0, alors pour tout réel x, on a f(x)f(-x) != 0, d’où f(x) != 0. f ne s’annule donc pas sur R. Puisque f ne s’annule pas sur R, on peut en déduire f(0)=1 et donc que f est strictement positive puisque si elle changeait de signe, elle s’annulerait d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Montrons alors par récurrence que pour tout entier naturel n et tout réel a, on a f(na) = f(a)^n.
On a f(0) = 1 = f(a)^0 donc la proposition est vraie pour 0. Par ailleurs, en la supposant vérifiée pour un entier n fixé, on a f((n+1)a) = f(na)f(a) = f(a)^nf(a) = f(a)^{n+1}. On a donc pour tout entier naturel n f(na) = f(a)^n. On étend la proposion à Z en remarquant que pour tout réel x, f(-x) = \frac{f(0)}{f(x)} = \frac{1}{f(x)} = f(x)^{-1}. On a donc pour tout entier p strictement négatif f(pa) = f((-p)a)^{-1} = f(a)^{-(-p)} = f(a)^p.
On remarque par ailleurs que pour tout n strictement positif, f(1) = f(n\times\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})^n d’après ce qui précède donc f(\frac{1}{n}) = \sqrt[n]{f(1)} = f(1)^{\frac{1}{n}}.
Or tout rationnel r peut s’écrire sous la forme \frac{p}{q} où p est un entier quelconque et q est un entier strictement positif donc on a pour tout rationnel r, f(r) = f(\frac{p}{q}) = f(\frac{1}{q})^p = (f(1)^{\frac{1}{q}})^p = f(1)^{\frac{p}{q}} = f(1)^r. Les fonctions f et g: x \mapsto f(1)^x coïncident sur \mathbb{Q}. et on a pour tout réel x f(x) = f(1)^x. Soit alors x un réel. On définit la suite (u_n(x)) par u_n(x) = \frac{E(10^nx)}{10^n}. Il s’agit d’une suite de rationnels et on a \frac{10^nx-1}{10^n} < u_n(x) \le x donc d’après le théorème des gendarmes, un(x) converge vers x pour tout x. Puisque f et g sont égales sur Q, on a pour tout n, f(u_n(x)) = g(u_n(x)) donc, par continuité de f et g, f(x) = g(x) par passage à la limite. On a docn pour tout réel x, f(x) = f(1)^x. Réciproquement, on vérifie facilement que pour tout réel a > 0, x \mapsto a^x est continue et vérifie l’équation.
Un autre:
Soit n \in \mathbb{N}^*, montrer que \displaystyle \frac{\sigma(n!)}{n!} \geq 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} où \displaystyle \sigma(n) = \sum_{d|n} d est la somme des diviseurs de n
Indice
Remarquer que \displaystyle \sum_{d|n} d = \sum_{d|n} \frac{n}{d}
kledou j’ai pas tout lu mais une petite remarque:
à la deuxième ligne,tu oublies le cas f=0
Il y a un résultat que tu verras cette année:« si 2 fonctions continues sur R sont égales sur Q alors elles sont égales sur R » ça vient du fait que tout réel est la limite d’une suite de rationnel,on dit que Q est dense dans R (démo au programme je crois)
chapeau mais vous avez oublié un truc !
f(1) doit être comment pour que vos raisonnements marchent !
brank a écrit:
kledou j’ai pas tout lu mais une petite remarque:
à la deuxième ligne,tu oublies le cas f=0Il y a un résultat que tu verras cette année:« si 2 fonctions continues sur R sont égales sur Q alors elles sont égales sur R » ça vient du fait que tout réel est la limite d’une suite de rationnel,on dit que Q est dense dans R (démo au programme je crois)
J’ai pris f=0 car je savais que c’était une fonction exponentielle de base a le résultat.
Le résultat « Q est dense dans R » est super utile 
. On peut démontrer plein de trucs avec ça nan ?
Sinon, ça va le raisonnement ou j’ai tout faux ?
lionel52 a écrit:
chapeau mais vous avez oublié un truc !
f(1) doit être comment pour que vos raisonnements marchent !
Différent de 0 ?
lionel52 a écrit:
chapeau mais vous avez oublié un truc !
f(1) doit être comment pour que vos raisonnements marchent !
Strictement positif mais j’ai déjà remarqué en haut que f était strictement positive
KGD a écrit:
[quote=« lionel52 »]
chapeau mais vous avez oublié un truc !f(1) doit être comment pour que vos raisonnements marchent !
Strictement positif mais j’ai déjà remarqué en haut que f était strictement positive
[/quote]
Oui je suis bête, une fonction exponentielle de base a n’est pas définie si a est négative …
avec la densité tu peux montrer plein de trucs. genre y a quelque chose que tu veux montrer sur un gros ensemble mais tu sais pas comment faire, alors tu le montres sur un petit puis par continuité ça marche pour tout le monde!
exemple pour f assez régulière : f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_R e^{ikx} (\int_{R} f(y)e^{-iky}dy)dk
Tu montres cette égalité pour les exponentielles exp(-ax²+bx) (le calcul est simple) puis tu passe à la limite!
lionel52 a écrit:
avec la densité tu peux montrer plein de trucs. genre y a quelque chose que tu veux montrer sur un gros ensemble mais tu sais pas comment faire, alors tu le montres sur un petit puis par continuité ça marche pour tout le monde!
exemple pour f assez régulière : f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_R e^{ikx} (\int_{R} f(y)e^{-iky}dy)dk
Tu montres cette égalité pour les exponentielles (le calcul est simple) puis tu passe à la limite!
Tu peux me montrer un peu comment ça marche sur un exemple s’il te plait ?
Un autre exemple plus parlant : on se donne une fonction f continue sur [0;1] vérifiant pour tout n
\int_{[0;1]}f(x)x^ndx = 0
Par linéarité, pour tout polynome P : \int_{[0;1]}f(x)P(x)dx = 0
On veut montrer que f = 0. On utilise la densité de l’ensemble des polynômes dans l’ensemble des fonctions continues sur [0;1] (théorème de Weierstrass.
C’est à dire qu’il existe une suite (Pn) de polynomes qui converge vers f (pour une certaine norme mais pas important ici)
En gros Pn \to f et \int_{[0;1]}f(x)Pn(x)dx = 0 \to \int_{[0;1]}(f(x))^2 dx
Et f² est une fonction continue positive d’intégrale nulle donc f² (donc f) est nulle ! (ça se voit vite sur un graphe)
lionel52 a écrit:
Un autre exemple plus parlant : on se donne une fonction f continue sur [0;1] vérifiant pour tout n
\int_{[0;1]}f(x)x^ndx = 0Par linéarité, pour tout polynome P : \int_{[0;1]}f(x)P(x)dx = 0
On veut montrer que f = 0. On utilise la densité de l’ensemble des polynômes dans l’ensemble des fonctions continues sur [0;1] (théorème de Weierstrass.
C’est à dire qu’il existe une suite (Pn) de polynomes qui converge vers f (pour une certaine norme mais pas important ici)En gros Pn \to f et \int_{[0;1]}f(x)Pn(x)dx = 0 \to \int_{[0;1]}(f(x))^2 dx
Et f² est une fonction continue positive d’intégrale nulle donc f² (donc f) est nulle ! (ça se voit vite sur un graphe)
Je me mets à la place de kledou, qu’est ce qui justifie que tu invertisses les symboles limite et intégrale ?