et lionel,t’as pas des exemples encore plus compliqués à donner à des terminales ? 
oh pas besoin d’en ajouter énormément … c’est juste l’idée qui est importante ici, à quoi sert la densité… les théorèmes d’interversion on s’en tape lol
je trouve le 2e exemple parlant moi !
lionel52 a écrit:
Un autre exemple plus parlant : on se donne une fonction f continue sur [0;1] vérifiant pour tout n
\int_{[0;1]}f(x)x^ndx = 0Par linéarité, pour tout polynome P : \int_{[0;1]}f(x)P(x)dx = 0
On veut montrer que f = 0. On utilise la densité de l’ensemble des polynômes dans l’ensemble des fonctions continues sur [0;1] (théorème de Weierstrass.
C’est à dire qu’il existe une suite (Pn) de polynomes qui converge vers f (pour une certaine norme mais pas important ici)En gros Pn \to f et \int_{[0;1]}f(x)Pn(x)dx = 0 \to \int_{[0;1]}(f(x))^2 dx
Et f² est une fonction continue positive d’intégrale nulle donc f² (donc f) est nulle ! (ça se voit vite sur un graphe)
Question donnée à Centrale PSI mathsI 2012.
C’est bien que les Terminale qui le souhaitent puissent avoir une idée de la notion de densité mais alors, sauf rares cas particuliers, il faut faire attention aux exemples fournis.
Non parce que tant qu’à faire, on a qu’à leur citer un théorème de Lebesgue pour justifier l’interversion, quoi de mieux pour les perdre !
là c’est plutôt Riemann qui est à l’honneur pour une fois ! (bien qu’avec lebesgue ça doit marcher…)
Non, c’est juste que Riemann est has-been. Je te confirme, ça marche avec le théorème de convergence dominée.
quelqu’un a un exo ou un exemple niveau terminale à me filer pour appliquer les densités dedans ?
kledou a écrit:
quelqu’un a un exo ou un exemple niveau terminale à me filer pour appliquer les densités dedans ?
celui là est parfait pour toi !
kledou a écrit:
Bon, maintenant, je vais poster un exo qui est faisable avec nos capacités de futurs MPSI o/Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
La densité juste en sortant de tle c’est vraiment chaud quand même, les définitions propres qu’on peut en donner sont pas super simples. Ça se comprend bien mais a formaliser en tle… Et puis vous êtes pas supposés connaître les exemples canoniques de densité.
M’enfin si ca vous fait plaisir
Soit A et B deux ensembles inclus dans R, tel que A est dense dans B. On suppose que B est dense dans R, montrer que A est dense dans R.
brank a écrit:
[quote=« kledou »]
quelqu’un a un exo ou un exemple niveau terminale à me filer pour appliquer les densités dedans ?
celui là est parfait pour toi !
kledou a écrit:
Bon, maintenant, je vais poster un exo qui est faisable avec nos capacités de futurs MPSI o/Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
[/quote]
kledou a écrit:
Bon tout d’abord, on a f(x+y) = f(x)f(y).
Etudions le cas tout d’abord où y = 0 : on a donc f(x) = f(x)f(0) d’où f(0) = 1
Ensuite, regardons le cas où y = -x : on a donc f(0) = f(x)f(-x) d’où f(x) =\frac{1}{f(-x)}( hmm, ça ressemble à la fonction exponentielle tout ça)
Ensuite, regardons le cas où x = y : on a donc f(2x) = f(x)^2.
On peut conjecturer que : \forall n\in\mathbb{N} f(nx) = f(x)^n.
On peut le démontrer par récurrence aisément ! ( propriété vraie quand n = 0 puis hypothèse ect … ).
Ensuite, on peut s’appuyer sur ce qu’on a montré précédemment : f(x) = \frac{1}{f(-x)}. On a donc f(-x) = \frac{1}{f(x)} d’où f(-nx) = \frac{1}{f(nx)} donc f(-nx) = \frac{1}{f(x)^n} = {f(x)}^{-n}
On peut maintenant voir que 1 = n.\frac{1}{n} donc f(1) = f(n.\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})^n. d’où f(\frac{1}{n}) = f(1)^{\frac{1}{n}}
Regardons maintenant comment réagit notre fonction si x est un nombre rationnel donc si x = \frac{a}{b} avec (a;b)\in\mathbb{Z}^2 : on a f(x) = f(\frac{a}{b}) = f(a\frac{1}{b}) = f(\frac{1}{b})^a.
Or f(\frac{1}{n}) = f(1)^{\frac{1}{n}}, d’où f(\frac{1}{b})^a = f(1)^{\frac{a}{b}
On admet que f(1) = p. On sait que f(1) est un réel.
On a donc f(x) = p^x quand x est un rationnel. Le problème est ici, j’arrive pas à étendre à x un réel.Avec le temps que j’ai pris pour réfléchir et écrire ma « réponse », la véritable réponse sera d’ja là depuis bien longtemps.
EDIT : je l’ai fait en admettant que f est continue seulement …
EDIT 2 : Petit erreur dans le \LaTeX
il suffit de rajouter que Q est dense dans R et voilà nan ?
EDIT : J’ai mal lu, je vais le faire là, et je le repost pour que d’autres TS puissent le tenter.
guitar_man95 a écrit:
La densité juste en sortant de tle c’est vraiment chaud quand même, les définitions propres qu’on peut en donner sont pas super simples. Ça se comprend bien mais a formaliser en tle… Et puis vous êtes pas supposés connaître les exemples canoniques de densité.
M’enfin si ca vous fait plaisirSoit A et B deux ensembles inclus dans R, tel que A est dense dans B. On suppose que B est dense dans R, montrer que A est dense dans R.
+1.
J’arrive même pas à comprendre comment ils ont pu faire l’exo au dessus, passer par les rationnels etc…
Bon à la limite KGD m’a habitué à un niveau plus élevé que la normale mais quand même.
optimath a écrit:
Non, c’est juste que Riemann est has-been. Je te confirme, ça marche avec le théorème de convergence dominée.
c’est HS, et avec mon faible niveau de L3 lambda (j’ai suivi le cours "theorie de la mesure et integration) ,je n’ai pas toutes les connaissances (ni le niveau) que vous avez optimath, mais je trouve que l’intégration au sens de Lebesgue demande beaucoup de théorie au préalable pour au final ne pas être « mieux » (dans le domaine de l’intégration après pour les probas peut être) que celle de Henstock -Kurzweil (vu en cours de calcul diff) qui elle est à peine plus compliquée que celle de Riemann.
Strelok a écrit:
+1.
J’arrive même pas à comprendre comment ils ont pu faire l’exo au dessus, passer par les rationnels etc…
Bon à la limite KGD m’a habitué à un niveau plus élevé que la normale mais quand même.
Moi jdis ya des futurs champions sur ce topic !
Strelok a écrit:
[quote=« guitar_man95 »]
La densité juste en sortant de tle c’est vraiment chaud quand même, les définitions propres qu’on peut en donner sont pas super simples. Ça se comprend bien mais a formaliser en tle… Et puis vous êtes pas supposés connaître les exemples canoniques de densité.
M’enfin si ca vous fait plaisirSoit A et B deux ensembles inclus dans R, tel que A est dense dans B. On suppose que B est dense dans R, montrer que A est dense dans R.
+1.
J’arrive même pas à comprendre comment ils ont pu faire l’exo au dessus, passer par les rationnels etc…
Bon à la limite KGD m’a habitué à un niveau plus élevé que la normale mais quand même.
[/quote]
Bah moi je savais qu’il fallait regarder des cas particuliers. ça m’a pris 1h45 pour trouver la réponse et ma réponse n’était pas tout à fait correct …
guitar_man95 a écrit:
La densité juste en sortant de tle c’est vraiment chaud quand même, les définitions propres qu’on peut en donner sont pas super simples. Ça se comprend bien mais a formaliser en tle… Et puis vous êtes pas supposés connaître les exemples canoniques de densité.
M’enfin si ca vous fait plaisirSoit A et B deux ensembles inclus dans R, tel que A est dense dans B. On suppose que B est dense dans R, montrer que A est dense dans R.
Je n’y arrive pastu peux me filer une piste s’il te plait ?
déjà rappelle la définition de « qu’est-ce que ça veut dire être dense », ça devrait bien marcher après
lionel52 a écrit:
déjà rappelle la définition de « qu’est-ce que ça veut dire être dense », ça devrait bien marcher après
Bah justement je sais pas. j’ai compris uniquement quand Q est dense dans R. Mais pour des ensembles quelconques je sais pas …
tu peux voir la densité de A dans B comme:
Tout élément de de B est limite d’une suite d’éléments de A (il y a d’autres définitions)
brank a écrit:
tu peux voir la densité de A dans B comme:
Tout élément de de B est limite d’une suite d’éléments de A (il y a d’autres définitions)
d’un coup c’est plus clair.
Je crois que A est dense dans E si pour tout x et y de E, on peut trouver p de A tel que x>p>y non ?
Blobixx a écrit:
Je crois que A est dense dans E si pour tout x et y de E, on peut trouver p de A tel que x>p>y non ?
Si si,tu peux montrer que les 2 définitions sont équivalentes si tu veux