Blobixx a écrit:
Je crois que A est dense dans E si pour tout x et y de E, on peut trouver p de A tel que x>p>y non ?
Ca semble difficile d’avoir autre chose qu’un sous ensemble de \mathbb{R} pour E avec cette « définition »… (et même dans ce cas c’est faux comme définition, prendre A = E = \mathbb{N}).
Nuhlanaurtograff a écrit:
[quote=« Blobixx »]
Je crois que A est dense dans E si pour tout x et y de E, on peut trouver p de A tel que x>p>y non ?
Ca semble difficile d’avoir autre chose qu’un sous ensemble de \mathbb{R} pour E avec cette « définition »…
[/quote]
J’ai généralisé la méthode de la démo’ de Q est dense dans R :s
guitar_man95 a écrit:
La densité juste en sortant de tle c’est vraiment chaud quand même, les définitions propres qu’on peut en donner sont pas super simples. Ça se comprend bien mais a formaliser en tle… Et puis vous êtes pas supposés connaître les exemples canoniques de densité.
M’enfin si ca vous fait plaisirSoit A et B deux ensembles inclus dans R, tel que A est dense dans B. On suppose que B est dense dans R, montrer que A est dense dans R.
Blobixx a écrit:
Je crois que A est dense dans E si pour tout x et y de E, on peut trouver p de A tel que x>p>y non ?
En prenant cette définition : Soit a\in{A}, (x;y)\in{B^2} et (p;q;r;s)\in\mathbb{R}^4.
On sait que \bar{A}=B d’où x < a < y et \bar{B}=\mathbb{R} d’où p < x < q et r < y < s.
On a donc p < x < a < y < s donc p < a < s d’où \bar{A} = \mathbb{R}
ça marche ?!
Ahah vous me tuez sur ce topic vous sortez de tle et vous connaissez déjà l’adhérence d’un ensemble…en fait l’exo que j’ai donné revient à montrer, avec cette notion, que si B est inclus dans A, alors adh(B) est inclus dans adh(A) et que adh(adh(A))=adh(A), qui sont des propriétés « qu’on voit bien ».
A partir de la les hypotheses se traduisent par B inclus dans adh(A) ( A est dense dans B), est adh(B)=R, on a donc R=adh(B) inclus dans adh(adh(A))=adh(A) inclus dans R donc A est dense dans R.
Mais la on fait de la topologie de spé quand même… On peut montrer le resultat en restant plus près de notions abordables en tle, en utilisant la caracterisation de Blobixx (enfin je corrige un peu, c’est « pour tous x>y de E, on peut trouver p dans A tel que p soit dans [y,x] »)
Et encore t’as pas vu KGD,c’est un tueur.
guitar_man95 a écrit:
Ahah vous me tuez sur ce topic vous sortez de tle et vous connaissez déjà l’adhérence d’un ensemble…en fait l’exo que j’ai donné revient à montrer, avec cette notion, que si B est inclus dans A, alors adh(B) est inclus dans adh(A) et que adh(adh(A))=adh(A), qui sont des propriétés « qu’on voit bien ».
A partir de la les hypotheses se traduisent par B inclus dans adh(A) ( A est dense dans B), est adh(B)=R, on a donc R=adh(B) inclus dans adh(adh(A))=adh(A) inclus dans R donc A est dense dans R.
Mais la on fait de la topologie de spé quand même… On peut montrer le resultat en restant plus près de notions abordables en tle, en utilisant la caracterisation de Blobixx (enfin je corrige un peu, c’est « pour tous x>y de E, on peut trouver p dans A tel que p soit dans [y,x] »)
sinon, ce que j’ai tenté est bon ?
Ben des la première ligne ça marche pas, tu dis " on prend a au pif dans A, x et y au pif dans B et par densité, a est dans ]x,y[", sauf que non ça c’est pas la densité.
Pour pas se perdre faut bien fixer les objectifs. On veut montrer que A est dense dans R. On prend donc au regard de notre définition, x<y deux réels, et le but du jeu est de trouver un élément de A, compris entre x et y, en utilisant l’ensemble B.
KGD a écrit:
Un autre:
Soit n \in \mathbb{N}^*, montrer que \displaystyle \frac{\sigma(n!)}{n!} \geq 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} où \displaystyle \sigma(n) = \sum_{d|n} d est la somme des diviseurs de n
IndiceRemarquer que \displaystyle \sum_{d|n} d = \sum_{d|n} \frac{n}{d}
Un exo trouvé dans un EDIT de KGD
brank a écrit:
[quote=« kledou »]
quelqu’un a un exo ou un exemple niveau terminale à me filer pour appliquer les densités dedans ?
celui là est parfait pour toi !
kledou a écrit:
Bon, maintenant, je vais poster un exo qui est faisable avec nos capacités de futurs MPSI o/Trouver toutes les fonctions f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, continues, telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
[/quote]
[spoiler]On a f(x+y) = f(x)+f(y).
Lorsque que x = y = 0, on a f(0) = 2f(0) d’où f(0) = 0
Lorsque y = -x, on a f(0) = f(x) + f(-x) d’où -f(x) = f(-x), on a donc une fonction impaire.
Lorsque x = y, on a f(2x) = 2f(x).
On peut conjecturer que : \forall n\in\mathbb{N}, f(nx) = nf(x)
On démontre cela facilement grâce à une récurrence. ( propriété vraie à n = 0 ).
De plus, étant donné que f est impaire, on a$f(-nx) = -f(nx) = -nf(x).
On a donc : \forall n\in\mathbb{Z}, f(nx) = nf(x)$
De plus, on sait que f(1) = f(n.\frac{1}{n}) = n.f(\frac{1}{n}). On a donc f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}f(1). ( il faut donc que n\neq0).
Soit r\in\mathbb{Q}, on a r = \frac{p}{q}. On a donc f(r) = f(\frac{p}{q}) = f(p.\frac{1}{q}) = p.f(\frac{1}{q}) = \frac{p}{q}f(1) = f(1)r
De plus, on sait que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}. d’où \forall x\in\mathbb{R}, f(x) = f(1)x.
Or f(1) est un réel. Soit a = f(1). On a donc f(x) = ax.
Donc f est une fonction affine.[/spoiler]
C’est (presque) tout bon, mais lorsque tu utilise la densité de Q dans R, tu utilises l’hypothèse de continuité de f, il faut que tu le précises, car sans cela ton raisonnement ne tient pas
Alma a écrit:
C’est (presque) tout bon, mais lorsque tu utilise la densité de Q dans R, tu utilises l’hypothèse de continuité de f, il faut que tu le précises, car sans cela ton raisonnement ne tient pas
Ok. niquel
Un autre exercice de « logique - début de sup » :
Soit X et Y deux ensembles dans E. Montrer que X \subset Y \Leftrightarrow \overline{Y} \subset \overline{X}.
Pour ceux qui ne connaissent pas la méthode :
[spoiler]Montrer que \overline{Y} \subset \overline{X} en supposant X \subset Y
Montrer que X \subset Y en supposant \overline{Y} \subset \overline{X}
Ou alors une table de vérité, mais c’est moins dans l’esprit…[/spoiler]
Adolorante a écrit:
Un autre exercice de « logique - début de sup » :
Soit X et Y deux ensembles dans E. Montrer que X \subset Y \Leftrightarrow \overline{Y} \subset \overline{X}.
Pour ceux qui ne connaissent pas la méthode :[spoiler]Montrer que \overline{Y} \subset \overline{X} en supposant X \subset Y
Montrer que X \subset Y en supposant \overline{Y} \subset \overline{X}Ou alors une table de vérité, mais c’est moins dans l’esprit…[/spoiler]
En gros, on fait une double inclusion ?!
Ou il suffit de montrer que:
X \subset Y \Rightarrow \overline{Y} \subset \overline{X}
Puis remplacer X par \overline{Y} et Y par \overline{X}
Ca donne \overline{\overline{X}} \subset\overline{\overline{Y}}}
Or $\overline{\overline{X}}=X$et \overline{\overline{Y}}=Y
D’où l’autre implication.
C’est devenu complètement HS ce topic 
Quand ca part en densité, adhérence, équations fonctionnelles et tout ouais c’est assez HS.
Quoique au concours général je crois avoir vu: trouver les fonctions continues en 0 et 1 tq f(x²)=f(x)
Un petit exo faisable en terminale, qui fait tout de même appel a pas mal de notions:
Calculer en fonction de n, \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx
Indication:calculer \int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}dx en fonction de k entier relatif.
Soit y une solution de l’équation différentielle
(x²+1)y’ + exp(x)y + cos(x) = 0
Montrer que y est infiniment dérivable.
C’est quoi ce hardcore level là.
Voici un premier DS de sup’, je préfère m’entraîner là dessus : puu.sh/hxUL
D’abord quand on demande d’étudier la dérivabilité d’une fonction ça veut dire quoi ? Dire sur quel intervalle elle est dérivable ?
Deuxio : est-ce que \sum_{0}^{n}sin^2kx=\sum_{0}^{n}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{0}^{n}cos(2kx) ?
Et du coup comment trouver la somme des cos2kx ?
Adolorante a écrit:
Soit X et Y deux ensembles dans E. Montrer que X \subset Y \Leftrightarrow \overline{Y} \subset \overline{X}.
[spoiler]Soit x \in E
Si \forall x \in X , x \in Y est vrai alors \exists x \in \overline{Y} / x \in X est faux donc \forall x \in \overline{Y} , x \in \overline{X} est vrai.
Donc X \subset Y \Longrightarrow \overline{Y} \subset \overline{X} est vrai.
Si \forall x \in \overline{Y} , x \in \overline{X} est vrai alors \exists x \in X / x \in \overline{Y} est faux donc \forall x \in X , x \in Y est vrai.
Donc \overline{Y} \subset \overline{X} \Longrightarrow X \subset Y est vrai.
X \subset Y \Leftrightarrow \overline{Y} \subset \overline{X} est donc vrai. Est-ce juste ?[/spoiler]
