Death Cube K a écrit:
Et du coup comment trouver la somme des cos2kx ?
bin tu sais calculer la somme des cos(kx) ?
lionel52 a écrit:
Soit y une solution de l’équation différentielle
(x²+1)y’ + exp(x)y + cos(x) = 0
Montrer que y est infiniment dérivable.
[spoiler](x^2+1)y' + exp(x)y + cos(x) = 0 \Rightarrow y'=\frac{-exp(x)}{x^2+1}y-\frac{cos(x)}{x^2+1} car x^2+1\ne 0
Donc les fonctions f solutions sont de la forme:
\displaystyle{f(t)={Ce^{-{\frac{exp(x)}{x^2+1}t}}}-cos(x)exp(-x)}, avec C\in\mathbb{R}
f est composée de fonctions indéfiniment dérivables donc elle est indéfiniment dérivable 
J’ai bon ? ^[1]
/spoiler ↩︎
Blobixx a écrit:
[quote=« lionel52 »]
Soit y une solution de l’équation différentielle
(x²+1)y’ + exp(x)y + cos(x) = 0
Montrer que y est infiniment dérivable.
[spoiler](x^2+1)y' + exp(x)y + cos(x) = 0 \Rightarrow y'=\frac{-exp(x)}{x^2+1}y-\frac{cos(x)}{x^2+1} car x^2+1\ne 0
Donc les fonctions f solutions sont de la forme:
\displaystyle{f(t)={Ce^{-{\frac{exp(x)}{x^2+1}t}}}-cos(x)exp(-x)}, avec C\in\mathbb{R}
f est composée de fonctions indéfiniment dérivables donc elle est indéfiniment dérivable
J’ai bon ? ^[1]
[/quote]
[spoiler]Inutile de chercher la solution imo.
En fait en notant f(x)=-exp(x)/(x²+1) et g(x)=-cos(x)/(x²+1)
T’as y’=f(x)y+g(x)
Donc y’ est dérivable.
Et tu vois que par récurrence immédiate ca va marcher tout le temps parce que f et g sont infinimént dérivables.[/spoiler]
/spoiler ↩︎
Blobixx a écrit:
[quote=« lionel52 »]
Soit y une solution de l’équation différentielle
(x²+1)y’ + exp(x)y + cos(x) = 0
Montrer que y est infiniment dérivable.
(x^2+1)y' + exp(x)y + cos(x) = 0 \Rightarrow y'=\frac{-exp(x)}{x^2+1}y-\frac{cos(x)}{x^2+1} car x^2+1\ne 0
Donc les fonctions f solutions sont de la forme:
\displaystyle{f(t)={Ce^{-{\frac{exp(x)}{x^2+1}t}}}-cos(x)exp(-x)}, avec C\in\mathbb{R}
f est composée de fonctions indéfiniment dérivables donc elle est indéfiniment dérivable
J’ai bon ? ^^
[/quote]
Pas Du tout,ta solution n’a pas de sens,c’est une fonction de t,ya du x,du t,du C, n’essaye pas d’expliciter les solutions .par contre ça y'=\frac{-exp(x)}{x^2+1}y-\frac{cos(x)}{x^2+1} c’est une bonne idée.
Ca veut dire que y' est dérivable non?
guitar_man95 a écrit:
Un petit exo faisable en terminale, qui fait tout de même appel a pas mal de notions:
Calculer en fonction de n, \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx
Indication:calculer \int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}dx en fonction de k entier relatif.
[spoiler]\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}}dx = \begin{cases} 2\pi \,si\, k=0\\ 0 \, si\, k\ne 0 \end{cases}
De plus, \displaystyle cos^n(x)=\frac{1}{2^n}(e^{ix}+e^{-ix})^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}e^{ikx}
donc \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx = \frac{1}{2^n} \int_0^{2\pi} \left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikx}\right )dx
C’est bizarre non ?[/spoiler]
euh oui c’est bizarre…
Attention a ta formule du binome! (Mais c’est l’idée)
Blobixx a écrit:
[quote=« lionel52 »]
Soit y une solution de l’équation différentielle
(x²+1)y’ + exp(x)y + cos(x) = 0
Montrer que y est infiniment dérivable.
[spoiler](x^2+1)y' + exp(x)y + cos(x) = 0 \Rightarrow y'=\frac{-exp(x)}{x^2+1}y-\frac{cos(x)}{x^2+1} car x^2+1\ne 0
Donc les fonctions f solutions sont de la forme:
\displaystyle{f(t)={Ce^{-{\frac{exp(x)}{x^2+1}t}}}-cos(x)exp(-x)}, avec C\in\mathbb{R}
f est composée de fonctions indéfiniment dérivables donc elle est indéfiniment dérivable
J’ai bon ? ^[1]
[/quote]
C’est pas du tout l’esprit !
Ce qu’on voit, c’est que y’ est exprimée en fonction de y et de fonctions infiniment dérivables, donc il existe y". Et ainsi de suite.
/spoiler ↩︎
Blobixx a écrit:
[quote=« guitar_man95 »]
Un petit exo faisable en terminale, qui fait tout de même appel a pas mal de notions:Calculer en fonction de n, \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx
Indication:calculer \int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}dx en fonction de k entier relatif.
[spoiler]\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}}dx = \begin{cases} 2\pi \,si\, k=0\\ 0 \, si\, k\ne 0 \end{cases}
De plus, \displaystyle cos^n(x)=\frac{1}{2^n}(e^{ix}+e^{-ix})^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}e^{ikx}
donc \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx = \frac{1}{2^n} \int_0^{2\pi} \left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikx}\right )dx
C’est bizarre non ?[/spoiler]
[/quote]
[spoiler]On a \displaystyle cos^n(x) = (\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^n = \frac{1}{2^n}(e^{ix}+e^{-ix})^n = \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \displaystyle(e^{ix})^{n-k}.(e^{-ix})^{k}= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e^{ix(n-2k)}.
d’où \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x).dx = \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e^{ix(n-2k)}.dx[/spoiler]
Edit : j’ai oublié le dx après la fonction dans l’intégrale …
oui c’est juste ça,t’as presque fini.
Car l’intégrale de la somme, c’est la somme des intégrales 
guitar_man95 a écrit:
Car l’intégrale de la somme, c’est la somme des intégrales
on a donc : \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x).dx = \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e^{ix(n-2k)}.dx \displaystyle= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}\int_{0}^{2 \pi} \binom{n}{k} e^{ix(n-2k)}.dx
Est ce qu’il y a beaucoup de k tel que \int_{0}^{2 \pi} e^{ix(n-2k)}.dx soit non nul ?
tu peux distinguer n pair et n impair.
Continue le calcul!
brank non je sais pas calculer la série des cos(kx) tu peux m’aider ?
Death Cube K a écrit:
brank non je sais pas calculer la série des cos(kx) tu peux m’aider ?
la somme pas la série, mais en page 2 de ce topic tu savais faire non?
Bah non… je m’arrête à la somme des eikx
Après c’est une astuce qu’il faut connaitre.
Quand t’as:
exp(aix)+exp(bix) il est utile de factoriser par la moyenne des arguments, cad par exp((a+b)ix/2)
Ca fait apparaître des trucs sympas.
Et ca permet d’ailleurs de trouver des formules trigo.
vu comment il faut le guider à chaque fois sinon il comprend rien, je pense pas qu’il a compris ce que tu lui as dit lol … il faut lui balancer la formule complète sinon il y arrivera pas
guitar_man95 a écrit:
Attention a ta formule du binome! (Mais c’est l’idée)
Oui j’ai fait une boulette.
[spoiler]C’est plutôt ça
\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} e^{ikx}}dx = \begin{cases} 2\pi \,si\, k=0\\ 0 \, si\, k\ne 0 \end{cases}
De plus, \displaystyle cos^n(x)=\frac{1}{2^n}(e^{ix}+e^{-ix})^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}e^{i(2k-n)x}
donc \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx = \frac{1}{2^n} \int_0^{2\pi} \left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{i(2k-n)x}\right )dx = \displaystyle \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \int_{0}^{2 \pi} \binom{n}{k} e^{i(2k-n)x} dx
car comme tu l’as dit, l’intégrale de la somme = somme de l’intégrale.
Or 2k-n\ne 0 \Leftrightarrow n\ne 2k \Rightarrow \displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} e^{i(2k-n)x}}dx = 0, donc si n est impair, \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} cos^n(x)dx= 0
Si n est pair, alors \displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} e^{i(2k-n)x}}dx = 2\pi, donc \displaystyle \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \int_{0}^{2 \pi} \binom{n}{k} e^{i(2k-n)x} dx= \frac{1}{2^n} 2\pi \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2\pi
Y’a un truc qui cloche là[/spoiler]