aloqsin a écrit:
Adolorante : En fait l’intégrale c’est une somme d’aire de rectangle c’est ce que tu essayes de me dire ? D’où l’égalité ? Où alors est-ce qu’on peut parler de linéarité de l’intégrale qui coïncide aussi avec ton point culture ?
[spoiler]
[quote=« Strelok »]
(=>) On suppose que si x€X alors x€Y
Soit x€Y barre, mq x€X barre.
x€Y barre donc x€X barre (c’est évident euh… parce que sinon on trouverait un x€X, donc à fortiori dans Y
C’est une démonstration ça sérieux ? Le soucis avec ce genre de chose, c’est que tellement c’est évident, qu’on ne sait même pas comment s’y prendre…[/spoiler]
[/quote]
On peut le comprendre de façon « imagée » comme ça.
En sup’, on ne définit pas vraiment l’intégrale comme ça. En fait, on veut un objet qui mesure l’aire algébrique. Pour cela, on définit l’intégrale d’une fonction constante par morceaux \varphi, puis on fait l’approximation f - \varepsilon \le \varphi \le f + \varepsilon donc on dit que les intégrales sont les mêmes. Voilà ce qu’il en est très schématiquement.
En TS, sans rentrer dans ça, tu peux montrer que \int f+g = \int f + \int g. 
Pour la preuve, j’ai ri. C’est évident, certes. Mais il faut le prendre pragmatiquement.
aloqsin a écrit:
Adolorante : En fait l’intégrale c’est une somme d’aire de rectangle c’est ce que tu essayes de me dire ? D’où l’égalité ? Où alors est-ce qu’on peut parler de linéarité de l’intégrale qui coïncide aussi avec ton point culture ?
[spoiler]
[quote=« Strelok »]
(=>) On suppose que si x€X alors x€Y
Soit x€Y barre, mq x€X barre.
x€Y barre donc x€X barre (c’est évident euh… parce que sinon on trouverait un x€X, donc à fortiori dans Y
C’est une démonstration ça sérieux ? Le soucis avec ce genre de chose, c’est que tellement c’est évident, qu’on ne sait même pas comment s’y prendre…[/spoiler]
[/quote]
[spoiler]ben ouais.
Par l’absurde.
On va traduire les trucs:
X inclus dans Y ca veut dire: pour x€X alors x€Y
Y barre non inclus dans X barre ca veut dire: il existe x€Y barre tq x n’est pas dans X barre
ou encore: il existe x n’appartenant pas à Y tq x€X
Donc t’as à la fois: pour tout x€X alors x€Y ET tu peux trouver un x€X\Y
euh…[/spoiler]
Sterlok, tu te compliques.
On suppose X \subset Y. Soit a \in \overline{Y} donc a \not\in Y, donc a \not\in X, d’où a \in \overline{X}.
On suppose \overline{Y} \subset \overline{X}. Soit a \in X, donc a \not\in \overline{X}, donc a \not\in \overline{Y}, d’où a \in Y.
Oui. Ca montre que le raisonnement par l’absurde n’est pas forcément le meilleur, même si sans le détail ca se fait vite.
Adolorante : C’est pas ce que j’avais fait ?
T’as bon. Mais c’est pas la méthode, et on cherche tout de même le raisonnement le plus facile et court aux concours. 
Exercices faisables en terminale:
On suppose que n€IN*
Et que p,q deux entiers inférieurs ou égaux à n.
Montrer que C_n^p=C_n^q implique q=p ou q=n-p.
Soit I_k={1,..,k}
Soient n,p deux entiers naturels non nuls
- Combien y a t il d’applications strictement croissantes de I_p dans I_n
- Combien y a t il d’applications croissantes de I_p dans I_n
Allez un exo marrant dans l’esprit du début de sup, ici c’est la rédac qui compte 
- Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x)
- Résoudre proprement l’équation 4x³ - 3x = 1/2
lionel52 a écrit:
Allez un exo marrant dans l’esprit du début de sup, ici c’est la rédac qui compte
- Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x)
- Résoudre proprement l’équation 4x³ - 3x = 1/2
1)
\right cos(3x) = cos(2x+x)
\Rightarrow cos(3x) = cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
\Rightarrow cos(3x) = (2cos^2(x)-1)cos(x)-2sin^2(x)cos(x)
\Rightarrow cos(3x) = 2cos^3(x)-cos(x)-2(1-cos^2(x))cos(x)
\Rightarrow cos(3x) = 2cos^3(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos^3(x)
\Rightarrow cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)
Montrer que 4 points A,B,C,D sont coplanaires équivaut-il à montrer qu’il existe alpha, bêta tels que le vecteur AB soit combinaison linéaire de AC et AD ?
je ne faisais que passer
lionel52 a écrit:
Allez un exo marrant dans l’esprit du début de sup, ici c’est la rédac qui compte
- Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x)
- Résoudre proprement l’équation 4x³ - 3x = 1/2
1) cos(3x) = cos(2x+x) = \cos x(2\cos^2 x -1) - 2\sin^2 x\cos x = 2\cos^3 x - \cos x - 2(1-\cos^2 x)\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x
2) On étudie f: x\to 4x^3 - 3x -\frac{1}{2} sur R. Elle est dérivable et on a pour tout x, f'(x) = 12x^2 - 3 = 12(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2}) f est strictement croissante sur ]-oo;-1/2], maximale localement en -1/2 de maximum 1/2, strictement décroissante sur [-1/2;1/2], minimale localement en 1/2 de minimum -3/2 puis strictement croissante sur [1/2;+oo[. On remarque que f(-1) = -3/2 <0 donc que f s’annule une fois sur ]-1;-1/2[, que f s’annule également sur ]-1/2;1/2[ car elle change de signe et que f(1) = 1/2 > 0 donc f s’annule sur ]1/2;1[. L’équation admet donc trois solutions $x_0,x_1,x_2$dans ]-1;1[. Puisque les solutions sont comprises entre -1 et 1, chaque solution peut être exprimée comme cosinus d’un réel t. On est donc ramenés à résoudre f(\cos t) = 0 et à chercher les valeurs de cosinus correspondantes. Celle-ci équivaut à \cos(3t) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3t = \frac{\pi}{3}+2k\pi ou 3t = -\frac{\pi}{3}+2k\pi où k\in\mathbb{Z}. D’où t = \frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3} ou t = -\frac{\pi}{9}-\frac{2k\pi}{3}. On voit que les valeurs possibles de t (modulo 2\pi) sont t\in{\pm\frac{\pi}{9};\pm\frac{7\pi}{9};\pm\frac{13\pi}{9}. Les solutions sont donc \cos\left(\frac{\pi}{9}\right),cos\left(\frac{7 \pi}{9}\right) et \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)
KGD a écrit:
[quote=« lionel52 »]
Allez un exo marrant dans l’esprit du début de sup, ici c’est la rédac qui compte
- Exprimer cos(3x) en fonction de cos(x)
- Résoudre proprement l’équation 4x³ - 3x = 1/2
1) cos(3x) = cos(2x+x) = \cos x(2\cos^2 x -1) - 2\sin^2 x\cos x = 2\cos^3 x - \cos x - 2(1-\cos^2 x)\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x
2) On étudie f: x\to 4x^3 - 3x -\frac{1}{2} sur R. Elle est dérivable et on a pour tout x, f'(x) = 12x^2 - 3 = 12(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2}) f est strictement croissante sur ]-oo;-1/2], maximale localement en -1/2 de maximum -1/2, strictement décroissante sur [-1/2;1/2], minimale localement en 1/2 de minimum -3/2 puis strictement croissante sur [1/2;+oo[. On remarque que f(1) = 1/2 > 0 donc f s’annule sur ]1/2;1[. Il existe donc x de ]1/2;1[ tel que 4x³ - 3x = 1/2 (il est unique d’après l’étude de la fonction f). Puisque x est compris entre -1 et 1, il existe t tel que x = cos(t). L’équation équivaut alors à \cos(3t) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3t = \frac{\pi}{3} ou 3t = -\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow t = \frac{\pi}{9} ou t = -\frac{\pi}{9} \Rightarrow x = \cos t = \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)
[/quote]
Tu as du te tromper dans le calcul de f(-1/2)car f(-1/2)=1/2>0 et f(1/2)=-3/2<0 donc d’après les variations, f s’annule trois fois sur R
Ioups, oui j’ai été un peu trop vite en effet 
Death Cube K a écrit:
Montrer que 4 points A,B,C,D sont coplanaires équivaut-il à montrer qu’il existe alpha, bêta tels que le vecteur AB soit combinaison linéaire de AC et AD ?
je ne faisais que passer
Oui.
Car 3 points (par exemple ABC) sont toujours coplanaires, il s’agit donc de montrer que D appartient à ce plan.
AB et AC sont dans le même plan, si D est dans le plan ABC alors AD est dans le même plan que ces vecteurs là.
Ces trois vecteurs forment donc une famille liée.
3 vecteurs forment une famille liée ssi ils sont dans le même plan.
Non
De même que A,B,C alignés n’est pas équivalent à AB multiple de AC…
Si A et C sont confondus c’est faux!
Oui enfin si C=A alors y’a plus d’alignement non ? Donc y’a plus d’équivalence…
Trois points dont deux confondus sont alignés.