Factorielle

Exercices avec le mot-clé "Factorielle"

2 exercices

Série alternée et critère de Césaro

Césaro Série alternée Factorielle Théorème de Césaro CSSA

Intégration terme à terme

Intégration sur un intervalle quelconque

Série entière Factorielle Gamma Intégration terme à terme IPP

)\\dots(q+1)} \\]\n \n Il s'agit d'un produit de $p+2$ facteurs au dénominateur dont le terme prédominant est $q$. On a donc l'équivalent :\n \\[ u_{p,q} \\sim \\frac{p!}{q^{p+2}} \\]\n \n Comme $p \\ge 0$, on a $p+2 \\ge 2$. La série de Riemann $\\sum_{q \\ge 0} \\frac{1}{q^{p+2}}$ converge.\n \n Ainsi, pour tout $p \\in \\mathbb{N}$, la série $\\sum_{q \\ge 0} u_{p,q}$ converge. Notons $S_p$ sa somme.\n \n Nous verrons dans la question suivante que $S_p = \\frac{1}{(p+1)^2}$. \n \n La série $\\sum_{p \\ge 0} S_p$ est une série de Riemann convergente, ce qui prouve la sommabilité de la famille.\n\n \\item Calculons d'abord la somme partielle par rapport à $q$. \n \n Pour $p$ fixé, cherchons à écrire $\\frac{q!}{(p+q+2)!}$ sous forme de différence. Posons :\n \\[ v_{p,q} = \\frac{q!}{(p+q+1)!} \\]\n \n Calculons la différence entre deux termes successifs :\n \\[ v_{p,q} - v_{p,q+1} = \\frac{q!}{(p+q+1)!} - \\frac{(q+1)!}{(p+q+2)!} \\]\n \n En mettant au même dénominateur :\n \\[ v_{p,q} - v_{p,q+1} = \\frac{q!(p+q+2) - (q+1)!}{(p+q+2)!} = \\frac{q! (p+q+2 - (q+1))}{(p+q+2)!} \\]\n \n On obtient après simplification :\n \\[ v_{p,q} - v_{p,q+1} = (p+1) \\frac{q!}{(p+q+2)!} \\]\n \n On en déduit l'expression du terme général :\n \\[ \\frac{q!}{(p+q+2)!} = \\frac{1}{p+1} (v_{p,q} - v_{p,q+1}) \\]\n \n Par télescopage, la somme sur $q$ s'écrit :\n \\[ \\sum_{q=0}^{+\\infty} \\frac{q!}{(p+q+2)!} = \\frac{1}{p+1} (v_{p,0} - \\lim_{q \\to +\\infty} v_{p,q}) \\]\n \n Comme $v_{p,q} \\sim \\frac{1}{q^{p+1}} \\to 0$ et $v_{p,0} = \\frac{0!}{(p+1)!} = \\frac{1}{(p+1)!}$, on a :\n \\[ \\sum_{q=0}^{+\\infty} \\frac{q!}{(p+q+2)!} = \\frac{1}{(p+1)(p+1)!} \\]\n \n Réintégrons maintenant le facteur $p!$ pour calculer $S_p$ :\n \\[ S_p = \\sum_{q=0}^{+\\infty} u_{p,q} = p! \\times \\frac{1}{(p+1)(p+1)!} = \\frac{p!}{(p+1)(p+1)p!} \\]\n \n On obtient ainsi une expression très simple pour la somme intermédiaire :\n \\[ \\boxed{ S_p = \\frac{1}{(p+1)^2} } \\]\n \n Il ne reste plus qu'à sommer sur $p \\in \\mathbb{N}$ :\n \\[ \\sum_{(p, q) \\in \\mathbb{N}^{2}} u_{p,q} = \\sum_{p=0}^{+\\infty} S_p = \\sum_{p=0}^{+\\infty} \\frac{1}{(p+1)^2} \\]\n \n Par un changement d'indice $n = p+1$, on reconnaît la série de Riemann :\n \\[ \\sum_{p=0}^{+\\infty} \\frac{1}{(p+1)^2} = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2} = \\frac{\\pi^2}{6} \\]\n \n Le résultat final est donc :\n \\[ \\boxed{ \\sum_{(p, q) \\in \\mathbb{N}^{2}} \\frac{p!q!}{(p+q+2)!} = \\frac{\\pi^2}{6} } \\]\n\\end{enumerate}\n\n\\begin{piege}\nAttention aux indices de sommation ! La somme porte sur $\\mathbb{N}^2$, donc $p$ et $q$ commencent à $0$. Si l'on oublie ce décalage, on risque de sommer $\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{1}{n^2}$, ce qui poserait un problème de définition en $n=0$.\n\\end{piege}\n\n\\begin{aretenir}\nPour sommer une fraction rationnelle faisant intervenir des factorielles du type $\\frac{q!}{(q+k)!}$, la méthode privilégiée est de chercher un télescopage en utilisant des termes de la forme $\\frac{q!}{(q+k-1)!}$.\n\\end{aretenir}\n\n\\end{correction}"])