Matrices tridiagonales de Toeplitz

Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ et $n \geq 2$ . On considère la matrice $A_{n}(\alpha, \beta) \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ suivante :

A_{n}(\alpha, \beta)=\left(\begin{array}{ccccc} \alpha & \beta & 0 & \cdots & 0 \beta & \alpha & \beta & \ddots & \vdots 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \vdots & \ddots & \beta & \alpha & \beta 0 & \cdots & 0 & \beta & \alpha \end{array}\right)

Montrer que $A_n(\alpha, \beta)$ est diagonalizable.
Déterminer les valeurs propres de cette matrice.
Expliciter les sous-espaces propres associés.

1.

Pour $\beta = 0$ , le résultat est immédiat. Supposer $\beta \neq 0$ .

2.

Traduire l'équation aux valeurs propres $AX = \lambda X$ sous forme d'une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 sur les composantes de $X$ .

3.

Utiliser les conditions aux limites $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ pour restreindre les valeurs possibles de $\lambda$ .

Idées clés

•

Exploitation de la structure tridiagonale via une récurrence.

•

Utilisation de la symétrie réelle pour la diagonalisabilité.

•

Résolution d'équations caractéristiques trigonométriques.

Résolution.

La matrice $A_n(\alpha, \beta)$ est une matrice réelle et symétrique : $^t A_n(\alpha, \beta) = A_n(\alpha, \beta)$ .
D'après le théorème spectral, toute matrice réelle symétrique est diagonalizable dans une base orthonormée.

$\boxed{A_n(\alpha, \beta) \text{ est diagonalizable.}}$
Cherchons les éléments propres de $A = A_n(\alpha, \beta)$ . Si $\beta = 0$ , $A = \alpha I_n$ , la seule valeur propre est $\alpha$ .
Supposons désormais $\beta \neq 0$ . Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ et $X = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n$ non nul tel que $AX = \lambda X$ . En posant $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ , le système se traduit par la relation de récurrence suivante :
$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \beta x_{k-1} + \alpha x_k + \beta x_{k+1} = \lambda x_k$
Ce qui se réécrit :
$x_{k+1} - \frac{\lambda - \alpha}{\beta} x_k + x_{k-1} = 0$
L'équation caractéristique associée est $r^2 - \frac{\lambda - \alpha}{\beta} r + 1 = 0$ . Le produit des racines est 1, donc les racines sont de la forme $r$ et $1/r$ .
Si $r = \pm 1$ , alors $x_k$ est de la forme $(A+Bk)r^k$ . Les conditions $x_0=x_{n+1}=0$ imposent $A=B=0$ , ce qui donne $X=0$ , impossible.
Ainsi les racines sont distinctes. On peut poser $r = e^{i\theta}$ avec $\theta \in \mathbb{C}$ . La relation $r + 1/r = \frac{\lambda - \alpha}{\beta}$ devient $2 \cos \theta = \frac{\lambda - \alpha}{\beta}$ .
La solution générale de la récurrence est $x_k = A e^{ik\theta} + B e^{-ik\theta}$ . Comme $x_0 = 0$ , on a $A + B = 0$ , donc $x_k = C \sin(k\theta)$ .
La condition $x_{n+1} = 0$ impose $\sin((n+1)\theta) = 0$ , d'où $(n+1)\theta = p\pi$ avec $p \in \{1, \dots, n\}$ . On en déduit les valeurs de $\lambda$ :
$\boxed{\lambda_p = \alpha + 2\beta \cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right) \text{pour } p \in \{1, \dots, n\}}$
Pour chaque $p \in \{1, \dots, n\}$ , la valeur propre $\lambda_p$ est associée au vecteur propre $X_p$ dont les composantes sont : $\boxed{x_{k,p} = \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right) \text{pour } k \in \{1, \dots, n\}}$
Comme les $n$ valeurs propres trouvées sont distinctes (la fonction cosinus est injective sur $]0, \pi[$ ), chaque sous-espace propre est une droite vectorielle :
$\boxed{E_{\lambda_p}(A) = \mathrm{Vect}(X_p)}$

Attention à l'indice de la somme dans les conditions aux limites. L'introduction de $x_0$ et $x_{n+1}$ est un artifice classique pour transformer un système fini en une suite infinie vérifiant une relation de récurrence.