Déterminant d'une matrice tridiagonale symétrique

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geqslant 2$ . Pour tout réel $\theta$ , on considère la matrice $A_n \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

A_n = \begin{pmatrix} \cos \theta & 1 & 0 & \cdots & 0 1 & \cos \theta & 1 & \ddots & \vdots 0 & 1 & \ddots & \ddots & 0 \vdots & \ddots & \ddots & \cos \theta & 1 0 & \cdots & 0 & 1 & \cos \theta \end{pmatrix}

Calculer $D_n(\theta) = \det(A_n)$ .

1.

Procéder à un développement du déterminant par rapport à la première colonne pour établir une relation de récurrence liant $D_n(\theta)$ , $D_{n-1}(\theta)$ et $D_{n-2}(\theta)$ .

2.

On pourra poser $x = \cos \theta$ et résoudre l'équation caractéristique associée à la suite récurrente.

3.

Pour simplifier l'expression, on pourra introduire un angle auxiliaire $\phi$ tel que $x = 2\cos \phi$ .

Idées clés

•

Développement de déterminant (formule de Laplace).

•

Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

•

Utilisation de la structure polynomiale du déterminant pour simplifier l'étude.

1. Établissement de la relation de récurrence.

Développons $D_n(\theta)$ suivant la première colonne :

D_n(\theta) = \cos \theta \Delta_{n-1} - 1 \cdot \Delta'_{n-1}

où

\Delta_{n-1} = D_{n-1}(\theta)

et

\Delta'_{n-1}

est le déterminant de la matrice de taille

n-1

obtenue en retirant la première colonne et la deuxième ligne.

En développant $\Delta'_{n-1}$ suivant sa première ligne, on obtient :

\Delta'_{n-1} = 1 \cdot D_{n-2}(\theta) - 0 = D_{n-2}(\theta)

On en déduit la relation de récurrence valable pour $n \geqslant 3$ :

\boxed{D_n(\theta) = \cos \theta D_{n-1}(\theta) - D_{n-2}(\theta)}

Calculons les premiers termes :

D_1(\theta) = \cos \theta

D_2(\theta) = \cos^2 \theta - 1

Pour que la récurrence soit cohérente avec $n=2$ , on peut poser $D_0(\theta) = 1$ , car $\cos \theta D_1(\theta) - D_0(\theta) = \cos^2 \theta - 1 = D_2(\theta)$ .

2. Résolution de l'équation caractéristique.

Soit $x = \cos \theta$ . L'équation caractéristique associée est $r^2 - xr + 1 = 0$ . Le discriminant est $\Delta = x^2 - 4 = \cos^2 \theta - 4$ .

Comme $\theta \in \mathbb{R}$ , on a $|\cos \theta| \leqslant 1$ , donc $\Delta \leqslant -3 < 0$ . L'équation admet deux racines complexes conjuguées distinctes.

Pour les exprimer de manière élégante, posons $x = 2 \cos \phi$ . Puisque $x \in [-1, 1]$ , on peut choisir $\phi \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ . En particulier, $\phi \not\equiv 0 \pmod{\pi}$ , donc $\sin \phi \neq 0$ .

L'équation devient $r^2 - (2\cos \phi)r + 1 = 0$ , dont les racines sont :

r = \frac{2\cos \phi \pm \sqrt{4\cos^2 \phi - 4}}{2} = \cos \phi \pm i \sin \phi = e^{\pm i\phi}

3. Expression du déterminant.

Il existe $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

D_n(\theta) = \lambda e^{in\phi} + \mu e^{-in\phi}

En utilisant les conditions initiales :

Pour $n=0$ : $\lambda + \mu = 1$ .
Pour $n=1$ : $\lambda e^{i\phi} + \mu e^{-i\phi} = 2\cos \phi$ .

On résout le système :

\lambda e^{i\phi} + (1-\lambda)e^{-i\phi} = e^{i\phi} + e^{-i\phi}

\lambda(e^{i\phi} - e^{-i\phi}) = e^{i\phi} \implies \lambda = \frac{e^{i\phi}}{2i \sin \phi}

On en déduit $\mu = 1 - \lambda = \frac{2i\sin \phi - e^{i\phi}}{2i\sin \phi} = \frac{-e^{-i\phi}}{2i\sin \phi}$ . D'où :

D_n(\theta) = \frac{e^{i(n+1)\phi} - e^{-i(n+1)\phi}}{2i\sin \phi}

\boxed{D_n(\theta) = \frac{\sin((n+1)\phi)}{\sin \phi}   \text{avec}   \cos \phi = \frac{\cos \theta}{2}}

L'erreur fréquente est d'oublier que la récurrence porte sur $\cos \theta$ et non sur $2 \cos \theta$ . Si la diagonale était $2\cos \theta$ , les racines seraient simplement $e^{\pm i \theta}$ . Ici, il faut bien introduire l'angle auxiliaire $\phi$ tel que $2 \cos \phi = \cos \theta$ .