Inverse polynomial et continuité

Soit $E$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ . On note $\mathcal{L}(E)$ l'algèbre des endomorphismes de $E$ et $\mathrm{GL}(E)$ le groupe des endomorphismes inversibles.

Soit $u \in \mathrm{GL}(E)$ . Justifier l'existence et l'unicité d'un polynôme $I_u \in \mathbb{C}[X]$ de degré minimal tel que $u^{-1} = I_u(u)$ .
Exprimer le degré de $I_u$ en fonction du degré du polynôme minimal de $u$ , noté $M_u$ .
On considère l'application $\Phi : u \in \mathrm{GL}(E) \mapsto I_u \in \mathbb{C}_{n-1}[X]$ . Déterminer en quels points $u \in \mathrm{GL}(E)$ cette application est continue.

1.

Pour la question 1, utiliser le polynôme minimal $M_u$ et le fait que $u$ est inversible pour isoler $u^{-1}$ comme combinaison linéaire de puissances de $u$ .

2.

Pour la question 2, remarquer que si $u^{-1} = P(u)$ , alors $X P(X) - 1$ est un polynôme annulateur de $u$ .

3.

Pour la question 3, distinguer le cas où $u$ est un endomorphisme cyclique (c'est-à-dire $\deg M_u = n$ ) et le cas contraire. Utiliser la densité des matrices à valeurs propres distinctes.

Idées clés

•

Lien entre polynôme annulateur et inverse : $P(u)=0$ avec $P(0) \neq 0$ .

•

Propriétés du polynôme minimal $M_u$ (degré $d$ ).

•

Définition des endomorphismes cycliques ( $\deg M_u = n$ ).

•

Densité des endomorphismes cycliques dans $\mathcal{L}(E)$ .

1. Existence et unicité de $I_u$ .

Soit $u \in \mathrm{GL}(E)$ . Son polynôme minimal $M_u$ est de degré $d \geq 1$ . Puisque $u$ est inversible, $0$ n'est pas valeur propre de $u$ , donc $0$ n'est pas racine de $M_u$ .

On peut donc écrire $M_u = \sum_{k=0}^d m_k X^k$ avec $m_0 \neq 0$ . Comme $M_u(u) = 0$ , on a :

m_0 I + m_1 u + \dots + m_d u^d = 0

En isolant l'identité et en factorisant par $u$ , on obtient :

u \left( -\frac{1}{m_0} \sum_{k=1}^d m_k u^{k-1} \right) = I

Ainsi, le polynôme $I_u(X) = -\frac{1}{m_0} \sum_{k=1}^d m_k X^{k-1}$ convient.

Unicité et degré minimal.

Soit $P$ un polynôme tel que $u^{-1} = P(u)$ . Alors $u P(u) - I = 0$ , donc le polynôme $T(X) = X P(X) - 1$ annule $u$ . Par définition du polynôme minimal, $M_u$ divise $T$ .

Ainsi, $\deg(T) \geq \deg(M_u)$ , ce qui implique $\deg(P) + 1 \geq d$ , soit $\deg(P) \geq d-1$ . Le polynôme $I_u$ construit précédemment est de degré au plus $d-1$ .

En réalité, son degré est exactement $d-1$ car si $m_d = 0$ , cela contredirait $\deg M_u = d$ . Si deux polynômes $P_1$ et $P_2$ de degré minimal $d-1$ conviennent, alors $(P_1-P_2)(u) = 0$ . Comme $\deg(P_1-P_2) < d$ , l'unique possibilité est $P_1 - P_2 = 0$ .

On a donc prouvé :

\boxed{\deg(I_u) = \deg(M_u) - 1}

2. Étude de la continuité de $\Phi$ .

Soit $u \in \mathrm{GL}(E)$ . Notons $P_u(X) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k(u) X^k$ son polynôme caractéristique. Comme $u$ est inversible, $a_0(u) = (-1)^n \det(u) \neq 0$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $P_u(u) = 0$ , ce qui permet de définir le polynôme :

Q_u(X) = -\frac{1}{a_0(u)} \left( X^{n-1} + a_{n-1}(u) X^{n-2} + \dots + a_1(u) \right)

Ce polynôme $Q_u$ vérifie $Q_u(u) = u^{-1}$ et ses coefficients sont des fonctions continues de $u$ (car les $a_k(u)$ sont polynomiaux en les coefficients de la matrice de $u$ ).

Cas 1 : $u$ est cyclique. Un endomorphisme est cyclique si $\deg M_u = n$ . Dans ce cas, $\deg I_u = n-1$ . Par unicité du polynôme de degré $\leq n-1$ tel que $P(u)=u^{-1}$ , on a $\Phi(u) = Q_u$ . L'ensemble des matrices cycliques $\mathcal{C}$ est un ouvert de $\mathcal{L}(E)$ (car c'est le lieu où la famille $(I, u, \dots, u^{n-1})$ est libre). Sur cet ouvert, $\Phi$ coïncide avec l'application continue $u \mapsto Q_u$ . Donc $\Phi$ est continue en tout point cyclique.

Cas 2 : $u$ n'est pas cyclique. Alors $d = \deg M_u < n$ . Donc $\deg I_u = d-1 < n-1$ . Cependant, l'ensemble des matrices à valeurs propres distinctes (qui sont cycliques) est dense dans $\mathcal{L}(E)$ . Il existe donc une suite $(u_k)$ d'endomorphismes cycliques convergeant vers $u$ .

Par continuité de $u \mapsto Q_u$ , on a $\Phi(u_k) = Q_{u_k} \to Q_u$ . Si $\Phi$ était continue en $u$ , on devrait avoir $Q_u = I_u$ . Or, $\deg Q_u = n-1$ (le coefficient de $X^{n-1}$ est $-1/a_0(u) \neq 0$ ) et $\deg I_u < n-1$ . C'est impossible. Donc $\Phi$ n'est pas continue en $u$ .

Conclusion :

\boxed{\Phi \text{ est continue en } u \iff u \text{ est un endomorphisme cyclique}}

Attention à ne pas croire que $I_u$ est toujours le polynôme obtenu via Cayley-Hamilton. Ce dernier donne un polynôme de degré $n-1$ , mais $I_u$ est défini comme étant de degré minimal. Ils ne coïncident que si l'endomorphisme est cyclique.