Matrices de d'ordre 2 à spectre unique

_2(\mathbb{C})$ à spectre singleton}

Soient $A, B$ et $C$ trois matrices non nulles de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ . Démontrer qu'il existe une combinaison linéaire non nulle de ces trois matrices ne possédant qu'une seule valeur propre dans $\mathbb{C}$ .

1.

Rappeler la condition sur le polynôme caractéristique pour qu'une matrice d'ordre 2 possède une unique valeur propre.

2.

Utiliser le discriminant $\Delta(M) = \text{Tr}(M)^2 - 4\det(M)$ .

3.

Étudier la nature de l'application $M \mapsto \Delta(M)$ sur le sous-espace $V = \text{Vect}(A, B, C)$ .

4.

Utiliser une propriété fondamentale des formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe.

Idées clés

•

Lien entre racine double du polynôme caractéristique et discriminant.

•

Structure de forme quadratique du discriminant en dimension 2.

•

Propriété des zéros des formes quadratiques sur $\mathbb{C}$ .

Résolution.

Caractérisation du spectre singleton. Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Son polynôme caractéristique est donné par : $\chi_M(X) = X^2 - \text{Tr}(M)X + \det(M)$ La matrice $M$ possède une unique valeur propre si et seulement si $\chi_M$ possède une racine double. Ceci est équivalent à l'annulation de son discriminant : $\boxed{\Delta(M) = \text{Tr}(M)^2 - 4\det(M) = 0}$
Nature algébrique du discriminant. L'application $\text{Tr} : \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ est une forme linéaire. Par conséquent, $M \mapsto \text{Tr}(M)^2$ est une forme quadratique. L'application $\det : \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ est également une forme quadratique sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ car pour $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ , on a $\det(M) = ad - bc$ , qui est un polynôme homogène de degré 2 en les coefficients de $M$ . On en déduit que $\Delta : M \mapsto \text{Tr}(M)^2 - 4\det(M)$ est une forme quadratique sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .
Existence d'un vecteur isotrope. Soit $V = \text{Vect}(A, B, C)$ $V = Vect (A, B, C)$ le sous-espace engendré par les trois matrices. Distinguons deux cas selon la dimension de $V$ $V$ :
- Cas 1 : $\dim V \geq 2$ . On sait que toute forme quadratique sur un espace vectoriel complexe de dimension $n \geq 2$ admet un vecteur isotrope non nul. En effet, si la forme est nulle, n'importe quel vecteur convient. Sinon, dans une base de diagonalisation, l'équation s'écrit $\sum_{i=1}^r \lambda_i x_i^2 = 0$ avec $r \geq 1$ . Si $r=1$ , $\lambda_1 x_1^2 = 0$ admet des solutions non nulles dès que $n \geq 2$ (on prend $x_1=0$ et un autre $x_i \neq 0$ ). Si $r \geq 2$ , on peut trouver une solution non nulle en utilisant le fait que tout nombre complexe admet une racine carrée. Ainsi, il existe $M \in V \setminus \{0\}$ tel que $\Delta(M) = 0$ .
- Cas 2 : $\dim V = 1$ . Dans ce cas, $A, B$ et $C$ sont colinéaires. Comme elles sont supposées non nulles, $V = \text{Vect}(A)$ . Si $A$ possède une seule valeur propre, le résultat est immédiat. Si $A$ possède deux valeurs propres distinctes, alors $\Delta(A) \neq 0$ . Dans ce cas précis, aucune matrice non nulle de $V$ (de la forme $\lambda A$ ) ne possède une unique valeur propre.
Interprétation pour trois matrices. L'énoncé de Tosel/LLG, en proposant trois matrices, suggère souvent de se placer dans le cas où l'on peut trouver une matrice nilpotente. Considérons l'hyperplan $H = \{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \mid \text{Tr}(M) = 0 \}$ . Si $\dim \text{Vect}(A, B, C) = 3$ , alors par la formule de Grassmann : $\dim(V \cap H) = \dim V + \dim H - \dim \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) = 3 + 3 - 4 = 2$ Sur l'espace $V \cap H$ , la trace est nulle, donc $\Delta(M) = -4\det(M)$ . Comme $\dim(V \cap H) = 2$ , il existe $M \in (V \cap H) \setminus \{0\}$ tel que $\det(M) = 0$ . Pour une telle matrice : $\boxed{\text{Tr}(M) = 0 \text{et} \det(M) = 0 \implies \text{Sp}(M) = \{0\}}$ La matrice $M$ est donc non nulle et possède 0 comme unique valeur propre.

Attention à ne pas oublier que ce résultat est faux sur $\mathbb{R}$ . Par exemple, si $V = \text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \right)$ , toute matrice non nulle de $V$ a deux valeurs propres distinctes réelles $\pm \sqrt{x^2+y^2}$ , sauf la matrice nulle.