Diviseur commun aux polynômes caractéristiques

Soit $\mathbb{K}$ un corps. On considère trois matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ et $M \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ .

On suppose que la matrice $M$ est de rang $r \in \mathbb{N}^*$ et qu'elle vérifie la relation de commutation suivante :

AM = MB

Démontrer que les polynômes caractéristiques $\chi_A$ et $\chi_B$ possèdent un diviseur commun dans $\mathbb{K}[X]$ de degré au moins égal à $r$ .

1.

Utiliser le théorème de la base incomplète ou la décomposition de rang pour écrire $M$ sous sa forme canonique $Q J_r P$ .

2.

Injecter cette décomposition dans la relation $AM=MB$ pour obtenir une relation entre des matrices semblables à $A$ et $B$ .

3.

Effectuer un calcul par blocs en dimension $r$ et $n-r$ (ou $p-r$ ).

Idées clés

•

Réduction locale : passage par la forme canonique des matrices de rang $r$ .

•

Stabilité : interpréter l'égalité matricielle comme une structure de blocs triangulaires.

•

Invariance : le polynôme caractéristique est invariant par similitude.

1. Réduction à la forme canonique du rang.

Puisque $\text{rg}(M) = r$ , il existe deux matrices inversibles $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et $Q \in GL_p(\mathbb{K})$ telles que :

M = P J_r Q   \text{avec}   J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r, p-r} 0_{n-r, r} & 0_{n-r, p-r} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})

La relation $AM = MB$ devient alors :

A(P J_r Q) = (P J_r Q) B

En multipliant par $P^{-1}$ à gauche et $Q^{-1}$ à droite, on obtient :

(P^{-1} A P) J_r = J_r (Q B Q^{-1})

Posons $A' = P^{-1} A P$ et $B' = Q B Q^{-1}$ . Ces matrices sont respectivement semblables à $A$ et $B$ .

\boxed{ A' J_r = J_r B' }

2. Décomposition par blocs.

Décomposons $A'$ et $B'$ en blocs de tailles adaptées à $J_r$ :

A' = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}   \text{et}   B' = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}

où

A_{11} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{K})

et

B_{11} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{K})

.

Calculons les produits avec $J_r$ :

A' J_r = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 A_{21} & 0 \end{pmatrix}

J_r B' = \begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} 0 & 0 \end{pmatrix}

3. Identification et conséquence sur le polynôme caractéristique.

L'égalité $A' J_r = J_r B'$ impose par identification des blocs :

\boxed{ A_{21} = 0,   B_{12} = 0   \text{et}   A_{11} = B_{11} }

La nullité de $A_{21}$ montre que $A'$ est triangulaire supérieure par blocs. Son polynôme caractéristique est :

\chi_A(X) = \chi_{A'}(X) = \det(X I_r - A_{11}) \times \det(X I_{n-r} - A_{22})

De même, la nullité de $B_{12}$ montre que $B'$ est triangulaire inférieure par blocs :

\chi_B(X) = \chi_{B'}(X) = \det(X I_r - B_{11}) \times \det(X I_{p-r} - B_{22})

Comme $A_{11} = B_{11}$ , posons $P(X) = \det(X I_r - A_{11})$ .

\boxed{ P(X) \text{ divise } \chi_A \text{ et } P(X) \text{ divise } \chi_B }

Ce polynôme $P$ est de degré $r = \text{rg}(M)$ , ce qui conclut la démonstration.

Attention à ne pas supposer que $M$ est carrée ou inversible. L'énoncé est valable même si $n \neq p$ . Si $M$ était inversible ( $n=p=r$ ), $A$ et $B$ seraient simplement semblables et auraient le même polynôme caractéristique.