Déterminant par blocs : formule et démonstration

Q: A-t-on det(AD - BC) pour une matrice 2 × 2 de blocs ?

Pas en général. C'est vrai si CD=DC (et det(AD-CB) si AC=CA), avec des blocs carrés de même taille ; voir le complément de Schur.

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux. C'est l'outil qui permet de calculer un polynôme caractéristique à partir d'un sous-espace stable, et de ramener un déterminant de grande taille à des déterminants plus petits après des opérations sur les blocs.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Compléments d'algèbre linéaire (matrices par blocs) ; réduction

Énoncé

Théorème (déterminant triangulaire par blocs)

Soit $p,q\ge 1$ , $A\in\mathcal{M}_p(\K)$ , $D\in\mathcal{M}_q(\K)$ (blocs diagonaux carrés) et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ . Alors

\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det A\cdot\det D.

Même chose pour une matrice triangulaire inférieure par blocs $\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}$ (par transposition). Plus généralement, pour une matrice triangulaire par blocs de blocs diagonaux carrés $A_1,\dots,A_r$ , le déterminant vaut $\det A_1\cdots\det A_r$ .

En conséquence, si $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$ , alors $\chi_M=\chi_A\,\chi_D$ .

Démonstration

On vérifie par produit par blocs la factorisation

\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_p&0\\0&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\0&I_q\end{pmatrix}.

Premier facteur. Sa première colonne est le premier vecteur de la base canonique. En développant selon cette colonne, on obtient le déterminant de la même matrice avec $I_{p-1}$ à la place de $I_p$ . Après $p$ développements, il reste $\det D$ .

Second facteur. Sa dernière ligne est $(0,\dots,0,1)$ . En développant selon cette ligne (le cofacteur a pour signe $(-1)^{2(p+q)}=1$ ), on obtient le déterminant de $\begin{pmatrix}A&B'\\0&I_{q-1}\end{pmatrix}$ , où $B'$ est $B$ privée de sa dernière colonne. Après $q$ développements, il reste $\det A$ .

Par multiplicativité du déterminant, $\det M=\det A\det D$ .

Cas de $r$ blocs : récurrence sur $r$ , en regroupant les $r-1$ premiers blocs diagonaux en un seul bloc triangulaire par blocs.

Polynôme caractéristique : $XI_{p+q}-M=\begin{pmatrix}XI_p-A&-B\\0&XI_q-D\end{pmatrix}$ est encore triangulaire par blocs, et la factorisation ci-dessus vaut dans $\mathcal{M}_{p+q}(\K[X])$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Sous-espace stable : si $F$ est stable par $u$ , dans une base adaptée la matrice de $u$ est $\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$ où $A$ est la matrice de $u_F$ . Donc $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$ .
Opérations par blocs : ajouter à une colonne de blocs une autre colonne de blocs multipliée à droite par une matrice (ou faire la même chose sur les lignes, multipliée à gauche) revient à multiplier par une matrice triangulaire par blocs à diagonale d'identités, de déterminant $1$ . On se ramène ainsi à une forme triangulaire par blocs.
Quatre blocs quelconques : si un bloc diagonal est inversible, utiliser le complément de Schur.

Exemples d'application

Le déterminant de (A B ; B A)

Soit $A,B\in\mathcal{M}_n(\K)$ . On multiplie à droite par $\begin{pmatrix}I_n&0\\I_n&I_n\end{pmatrix}$ , puis à gauche par $\begin{pmatrix}I_n&0\\-I_n&I_n\end{pmatrix}$ , deux matrices de déterminant $1$ :

\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_n&0\\I_n&I_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A+B&B\\A+B&A\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}I_n&0\\-I_n&I_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A+B&B\\A+B&A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}.

Donc $\det\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=\det(A+B)\det(A-B)$ , sans aucune hypothèse de commutation.

Matrice antidiagonale par blocs

Soit $B\in\mathcal{M}_p(\K)$ et $C\in\mathcal{M}_q(\K)$ . Dans $M=\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix}$ , on amène les $p$ dernières colonnes en tête : chacune franchit les $q$ premières colonnes, soit $pq$ transpositions de colonnes. On obtient $\begin{pmatrix}B&0\\0&C\end{pmatrix}$ , d'où

\det\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix}=(-1)^{pq}\det B\det C.

Erreurs classiques

Écrire $\det\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det A\det D-\det B\det C$ , ou $\det(AD-BC)$ , pour quatre blocs quelconques. Avec les matrices élémentaires $A=E_{22}$ , $B=E_{12}$ , $C=E_{21}$ , $D=E_{11}$ de $\mathcal{M}_2(\K)$ , la matrice obtenue est celle de la permutation qui échange $1$ et $4$ , de déterminant $-1$ , alors que les deux formules donnent $0$ .
Appliquer la formule avec des blocs diagonaux non carrés : si $A$ est rectangulaire, $\det A$ n'a pas de sens et la formule ne s'applique pas telle quelle.
Oublier le signe $(-1)^{pq}$ pour une matrice antidiagonale par blocs : $\det\begin{pmatrix}0&I_1\\I_1&0\end{pmatrix}=-1$ et non $1$ .
Faire des opérations « par blocs » en multipliant un bloc par une matrice du mauvais côté : sur les colonnes de blocs, on multiplie à droite ; sur les lignes de blocs, à gauche. Sinon la matrice obtenue n'est pas le produit par une matrice de déterminant $1$ .

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Compléments d'algèbre linéaire (matrices par blocs) ; réduction ».

La formule pour une matrice triangulaire par blocs est un résultat de cours, généralement énoncé en deuxième année avec les matrices par blocs et utilisé constamment en réduction. En revanche, il n'existe pas de formule générale du type « $ad-bc$ » pour quatre blocs quelconques : les formules correspondantes (complément de Schur, blocs qui commutent) sont hors programme et doivent être redémontrées.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Algèbre linéaire (703 sujets), Réduction des endomorphismes (472 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

CCINP Mathématiques PSI 2021 : Problème 2, partie II : le cas général (Q29 à Q38)
X ENS Mathématiques A MP 2015 : Deuxième partie : spectre d'une matrice extraite

Questions fréquentes

Comment calculer le déterminant d'une matrice par blocs ?

Si elle est triangulaire par blocs, c'est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Sinon, on s'y ramène par des opérations sur les lignes ou colonnes de blocs, ou par le complément de Schur si un bloc diagonal est inversible.

Quel est le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire par blocs ?

C'est le produit des polynômes caractéristiques des blocs diagonaux : $\chi_M=\chi_A\chi_D$ pour $M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$ . En particulier, le spectre de $M$ est la réunion des spectres de $A$ et $D$ .

A-t-on det(AD - BC) pour une matrice 2 × 2 de blocs ?

Pas en général. C'est vrai si $CD=DC$ (et $\det(AD-CB)$ si $AC=CA$ ), avec des blocs carrés de même taille ; voir le complément de Schur.

Déterminant par blocs

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Le déterminant de (A B ; B A)

Matrice antidiagonale par blocs

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Comment calculer le déterminant d'une matrice par blocs ?

Quel est le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire par blocs ?

A-t-on det(AD - BC) pour une matrice 2 × 2 de blocs ?

Exercices corrigés utilisant : Déterminant par blocs

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