Complément de Schur : définition, déterminant et preuve

Q: Qu'est-ce que le complément de Schur ?

Pour M=beginpmatrixA&B\C&Dendpmatrix avec A inversible, c'est la matrice D-CA^-1B. Elle vérifie det M=det Adet(D-CA^-1B) ; c'est le bloc restant après élimination de Gauss par blocs.

Le complément de Schur est la matrice $D-CA^{-1}B$ qui apparaît quand on effectue le pivot de Gauss « par blocs » sur une matrice $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ dont le bloc $A$ est inversible. Il donne le déterminant, le rang et l'inverse de la matrice par blocs à partir de matrices plus petites.

Hors programmePremière et deuxième année (MPSI, MP) · Calcul matriciel par blocs et déterminants

Énoncé

Proposition (complément de Schur)

Soit $p,q\ge 1$ et $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{p+q}(\K)$ avec $A\in\mathcal{M}_p(\K)$ inversible, $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ , $C\in\mathcal{M}_{q,p}(\K)$ , $D\in\mathcal{M}_q(\K)$ . Le complément de Schur de $A$ dans $M$ est

S=D-CA^{-1}B\in\mathcal{M}_q(\K).

On a la factorisation

M=\begin{pmatrix}I_p&0\\CA^{-1}&I_q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&0\\0&S\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}B\\0&I_q\end{pmatrix},

et par conséquent :

$\det M=\det A\cdot\det\big(D-CA^{-1}B\big)$ ;
$M$ est inversible si et seulement si $S$ l'est, et $\operatorname{rg}M=p+\operatorname{rg}S$ .

Blocs qui commutent. Si $p=q=n$ et si $A$ et $C$ commutent ( $AC=CA$ ), alors $\det M=\det(AD-CB)$ , même si $A$ n'est pas inversible lorsque $\K=\R$ ou $\C$ . De même, si $CD=DC$ , alors $\det M=\det(AD-BC)$ .

Démonstration

Factorisation. On calcule par blocs :

\begin{pmatrix}I_p&0\\CA^{-1}&I_q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&0\\0&S\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&S\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}A&0\\C&S\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}B\\0&I_q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\C&CA^{-1}B+S\end{pmatrix},

et $CA^{-1}B+S=D$ .

Déterminant et rang. Les deux matrices extrêmes sont triangulaires à diagonale de $1$ , donc de déterminant $1$ et inversibles. Le déterminant de la matrice diagonale par blocs vaut $\det A\det S$ (déterminant par blocs). Multiplier par des matrices inversibles ne change pas le rang, et $\operatorname{rg}\begin{pmatrix}A&0\\0&S\end{pmatrix}=\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}S=p+\operatorname{rg}S$ .

Blocs qui commutent, $A$ inversible. On a $\det M=\det A\det(D-CA^{-1}B)=\det\big(AD-ACA^{-1}B\big)$ , et $ACA^{-1}=CAA^{-1}=C$ car $AC=CA$ . D'où $\det M=\det(AD-CB)$ .

Blocs qui commutent, cas général ( $\K=\R$ ou $\C$ ). Pour $t\in\K$ , la matrice $A_t=A+tI_n$ commute encore avec $C$ , et elle est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de $t$ (les opposées des valeurs propres de $A$ ). Les fonctions $t\mapsto\det\begin{pmatrix}A_t&B\\C&D\end{pmatrix}$ et $t\mapsto\det(A_tD-CB)$ sont polynomiales et coïncident sur un ensemble infini, donc sont égales ; on prend $t=0$ .

Le cas $CD=DC$ se traite de même avec le complément de Schur de $D$ : si $D$ est inversible, $M=\begin{pmatrix}I_n&BD^{-1}\\0&I_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_n&0\\D^{-1}C&I_n\end{pmatrix}$ , puis $\det(A-BD^{-1}C)\det D=\det(AD-BD^{-1}CD)=\det(AD-BC)$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

On utilise le complément de Schur quand un bloc diagonal est inversible (souvent $I_n$ ou $\lambda I_n-A$ ) : on se ramène à un déterminant de taille plus petite. Pour un polynôme caractéristique, on applique la formule à $\lambda I-M$ pour les scalaires $\lambda$ qui rendent le bloc inversible (tous sauf un nombre fini), puis on conclut par égalité de deux polynômes qui coïncident en une infinité de points.

Exemples d'application

Identité de Sylvester det(I + UV) = det(I + VU)

Soit $U\in\mathcal{M}_{n,k}(\K)$ et $V\in\mathcal{M}_{k,n}(\K)$ . On pose $M=\begin{pmatrix}I_k&-V\\U&I_n\end{pmatrix}$ . Le complément de Schur de $I_k$ est $I_n-U\,I_k^{-1}(-V)=I_n+UV$ , donc $\det M=\det(I_n+UV)$ . Le complément de Schur du bloc $I_n$ est $I_k-(-V)I_n^{-1}U=I_k+VU$ , donc $\det M=\det(I_k+VU)$ . Ainsi

\det(I_n+UV)=\det(I_k+VU).

Pour $k=1$ , avec $U=X$ et $V=Y^{\top}$ : $\det(I_n+XY^{\top})=1+Y^{\top}X$ .

Matrice symétrique définie positive par blocs

Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\B^{\top}&D\end{pmatrix}$ réelle symétrique avec $A$ symétrique définie positive, et $S=D-B^{\top}A^{-1}B$ . Comme $A^{-1}$ est symétrique, la factorisation s'écrit $M=L\begin{pmatrix}A&0\\0&S\end{pmatrix}L^{\top}$ avec $L=\begin{pmatrix}I_p&0\\B^{\top}A^{-1}&I_q\end{pmatrix}$ inversible. Pour $x\in\R^{p+q}$ , $x^{\top}Mx=y^{\top}\operatorname{diag}(A,S)\,y$ avec $y=L^{\top}x$ , et $x\mapsto L^{\top}x$ est bijective. On en déduit : $M$ est définie positive si et seulement si $S$ l'est.

Erreurs classiques

Écrire $\det M=\det(AD-BC)$ sans hypothèse de commutation. Pour $A=E_{22}$ , $B=E_{12}$ , $C=E_{21}$ , $D=E_{11}$ (matrices élémentaires de taille $2$ ), $M$ est la matrice de la permutation échangeant $1$ et $4$ , donc $\det M=-1$ , alors que $\det(AD-BC)=\det(AD-CB)=0$ .
Se tromper d'ordre : avec $AC=CA$ , la formule est $\det(AD-CB)$ ; avec $CD=DC$ , c'est $\det(AD-BC)$ . En général $BC\neq CB$ .
Écrire $D-BA^{-1}C$ : ce produit n'a en général même pas de sens (tailles incompatibles). Le bon ordre est $C\,A^{-1}B$ , lu « ligne du bas, pivot inversé, colonne de droite ».
Utiliser $A^{-1}$ sans avoir justifié que $A$ est inversible : sinon, passer par une perturbation $A+tI_n$ (lorsque les blocs sont carrés) ou utiliser le complément de Schur de $D$ .

Place dans le programme

Première et deuxième année (MPSI, MP), chapitre « Calcul matriciel par blocs et déterminants ».

Le complément de Schur ne figure pas au programme officiel. La factorisation par blocs se vérifie en une ligne par produit matriciel : il faut la redémontrer (au moins l'écrire et la vérifier) dans une copie ou à l'oral avant d'utiliser la formule du déterminant.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Algèbre linéaire (703 sujets), Réduction des endomorphismes (472 sujets).

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le complément de Schur ?

Pour $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ avec $A$ inversible, c'est la matrice $D-CA^{-1}B$ . Elle vérifie $\det M=\det A\det(D-CA^{-1}B)$ ; c'est le bloc restant après élimination de Gauss par blocs.

Le complément de Schur est-il au programme de prépa ?

Non. On peut l'utiliser à condition d'écrire et de vérifier la factorisation par blocs, ce qui ne prend que quelques lignes.

Schur complement : est-ce la même notion ?

Oui, c'est le nom anglais. On parle aussi du complément de Schur de $D$ , $A-BD^{-1}C$ , lorsque c'est le bloc $D$ qui est inversible.

Complément de Schur