Formule de la comatrice : calcul et inverse d'une matrice

Q: Comment calculer la comatrice d'une matrice ?

On remplace chaque coefficient a_ij par son cofacteur (-1)^i+jΔ_ij, où Δ_ij est le déterminant de la matrice privée de la ligne i et de la colonne j. Pour une matrice 2× 2, combeginpmatrixa&b\c&dendpmatrix=beginpmatrixd&-c\\-b&aendpmatrix.

Q: Quelle est la formule de la comatrice ?

C'est A com(A)^top=com(A)^topA=det(A)I_n, valable pour toute matrice carrée, inversible ou non. Si det A≠ 0, elle donne A^-1=(1)/(det A)com(A)^top.

La comatrice d'une matrice carrée est la matrice de ses cofacteurs. La formule de la comatrice relie $A$ , la transposée de sa comatrice et $\det A$ ; elle donne une expression explicite de $A^{-1}$ et sert surtout en théorie : inversibilité de matrices à coefficients entiers, rang de la comatrice, preuve de Cayley-Hamilton.

Au programmePremière année (MPSI, MP2I, PCSI) · Déterminants

Énoncé

Définition et théorème (formule de la comatrice)

Soit $n\ge 2$ et $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\K)$ . Pour $1\le i,j\le n$ , on note $\Delta_{ij}$ le déterminant de la matrice de taille $n-1$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ (mineur), et $C_{ij}=(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ le cofacteur d'indice $(i,j)$ . La comatrice de $A$ est $\operatorname{com}(A)=(C_{ij})_{1\le i,j\le n}$ . Alors

A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=\operatorname{com}(A)^{\top}A=\det(A)\,I_n.

En particulier, si $A$ est inversible,

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,\operatorname{com}(A)^{\top}.

La formule reste vraie pour une matrice à coefficients dans un anneau commutatif, par exemple $\Z$ ou $\K[X]$ .

Démonstration

Le coefficient $(i,k)$ de $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}$ vaut

\big(A\,\operatorname{com}(A)^{\top}\big)_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,C_{kj}.

Si $i=k$ , on reconnaît le développement de $\det A$ selon la ligne $i$ : le coefficient vaut $\det A$ .

Si $i\neq k$ , on considère la matrice $A'$ obtenue en remplaçant la ligne $k$ de $A$ par la ligne $i$ . Les cofacteurs de $A'$ relatifs à la ligne $k$ sont ceux de $A$ , puisqu'ils ne font pas intervenir la ligne $k$ . Le développement de $\det A'$ selon la ligne $k$ donne donc $\det A'=\sum_j a_{ij}C_{kj}$ . Or $A'$ a deux lignes égales (les lignes $i$ et $k$ ), donc $\det A'=0$ .

Ainsi $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=\det(A)I_n$ . Pour l'autre produit, $\big(\operatorname{com}(A)^{\top}A\big)_{ik}=\sum_j C_{ji}a_{jk}$ ; c'est le développement selon la colonne $i$ de la matrice obtenue en remplaçant la colonne $i$ de $A$ par sa colonne $k$ : on trouve $\det A$ si $i=k$ et $0$ sinon (deux colonnes égales).

Si $\det A\neq 0$ , on divise par $\det A$ et on obtient $A^{-1}$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

En dimension 2 : si $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , alors $\operatorname{com}(A)=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}$ et, si $ad-bc\neq 0$ , $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .
Pour calculer une comatrice, on calcule les $n^2$ mineurs en respectant le damier de signes $(-1)^{i+j}$ , puis on n'oublie pas de transposer avant de diviser par $\det A$ .
Pour un inverse numérique en dimension $n\ge 4$ , le pivot de Gauss est bien plus rapide ; la comatrice sert surtout à des raisonnements théoriques.

Exemples d'application

Calcul d'une comatrice 3 × 3

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ . En développant selon la première ligne, $\det A=1\cdot 1-2\cdot(0-1)+0=3$ . Les cofacteurs sont $C_{11}=1$ , $C_{12}=-(0-1)=1$ , $C_{13}=0-1=-1$ , $C_{21}=-(2-0)=-2$ , $C_{22}=1$ , $C_{23}=-(0-2)=2$ , $C_{31}=2$ , $C_{32}=-1$ , $C_{33}=1$ . Donc

\operatorname{com}(A)=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-2&1&2\\2&-1&1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.

On vérifie que $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=3I_3$ .

Rang de la comatrice

Soit $n\ge 2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\K)$ .

Si $\operatorname{rg}A=n$ , $\operatorname{com}(A)^{\top}=\det(A)A^{-1}$ est inversible : $\operatorname{rg}\operatorname{com}(A)=n$ .
Si $\operatorname{rg}A=n-1$ , on a $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=0$ , donc $\operatorname{Im}\operatorname{com}(A)^{\top}\subset\ker A$ , qui est de dimension $1$ . De plus $A$ possède une sous-matrice inversible de taille $n-1$ , donc un mineur non nul : $\operatorname{com}(A)\neq 0$ . Ainsi $\operatorname{rg}\operatorname{com}(A)=1$ .
Si $\operatorname{rg}A\le n-2$ , toutes les sous-matrices de taille $n-1$ sont non inversibles, donc $\operatorname{com}(A)=0$ .

Erreurs classiques

Oublier la transposée : $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{com}(A)^{\top}$ , et non $\frac{1}{\det A}\operatorname{com}(A)$ . Les deux coïncident seulement si la comatrice est symétrique.
Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ : le cofacteur n'est pas le mineur. Le signe suit un damier qui commence par $+$ en position $(1,1)$ .
Croire que la comatrice d'une matrice non inversible est nulle : si $\operatorname{rg}A=n-1$ , la comatrice est de rang $1$ .
Croire que l'inverse d'une matrice inversible $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$ est toujours à coefficients entiers : c'est faux pour $A=2I_n$ . La formule montre que $A^{-1}\in\mathcal{M}_n(\Z)$ lorsque $\det A=\pm 1$ ; réciproquement, si $A^{-1}\in\mathcal{M}_n(\Z)$ , alors $\det A\cdot\det(A^{-1})=1$ dans $\Z$ impose $\det A=\pm 1$ .

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), chapitre « Déterminants ».

La comatrice et la relation $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=\operatorname{com}(A)^{\top}A=\det(A)\,I_n$ font partie du cours de première année sur les déterminants. En deuxième année, elles sont réutilisées dans des exercices de réduction et de topologie matricielle.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Algèbre linéaire (703 sujets).

Questions fréquentes

Comment calculer la comatrice d'une matrice ?

On remplace chaque coefficient $a_{ij}$ par son cofacteur $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ , où $\Delta_{ij}$ est le déterminant de la matrice privée de la ligne $i$ et de la colonne $j$ . Pour une matrice $2\times 2$ , $\operatorname{com}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}$ .

Comatrice et matrice des cofacteurs, est-ce la même chose ?

Oui. Certains ouvrages appellent « matrice adjointe » (ou adjugate en anglais) la transposée $\operatorname{com}(A)^{\top}$ , celle qui apparaît dans la formule de l'inverse.

Quelle est la formule de la comatrice ?

C'est $A\,\operatorname{com}(A)^{\top}=\operatorname{com}(A)^{\top}A=\det(A)I_n$ , valable pour toute matrice carrée, inversible ou non. Si $\det A\neq 0$ , elle donne $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{com}(A)^{\top}$ .

Formule de la comatrice

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Calcul d'une comatrice 3 × 3

Rang de la comatrice

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Comment calculer la comatrice d'une matrice ?

Comatrice et matrice des cofacteurs, est-ce la même chose ?

Quelle est la formule de la comatrice ?

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