Matrice de rang 1 : caractérisation et diagonalisation

Q: Quelles sont les valeurs propres d'une matrice de rang 1 ?

Pour MinM_n(K) de rang 1, χ_M=X^n-1(X-trM) : la valeur propre 0 avec multiplicité au moins n-1, et trM.

Q: Une matrice de rang 1 est-elle diagonalisable ?

Si et seulement si sa trace est non nulle. Si trM=0, elle est nilpotente non nulle (M^2=0), donc non diagonalisable.

Une matrice de rang $1$ est le produit d'une colonne par une ligne. Cette écriture donne immédiatement ses puissances, son polynôme caractéristique, son déterminant après perturbation par l'identité, et un critère de diagonalisabilité très simple portant sur la trace.

Classique, à redémontrerPremière année (MPSI, MP2I, PCSI), puis deuxième année · Rang ; réduction des endomorphismes

Énoncé

Proposition (matrices de rang 1)

Soit $M\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ . Alors $\operatorname{rg}M=1$ si et seulement s'il existe $X\in\K^n$ et $Y\in\K^p$ non nuls tels que

M=XY^{\top}.

Si de plus $n=p$ et $M=XY^{\top}$ est de rang $1$ :

$\operatorname{tr}M=Y^{\top}X$ et $M^2=(\operatorname{tr}M)\,M$ , donc $M^k=(\operatorname{tr}M)^{k-1}M$ pour $k\ge 1$ ;
$\chi_M=X^{n-1}\big(X-\operatorname{tr}M\big)$ (ici $X$ désigne l'indéterminée) ;
$M$ est diagonalisable si et seulement si $\operatorname{tr}M\neq 0$ ; si $\operatorname{tr}M=0$ , $M$ est nilpotente ( $M^2=0$ ).

Démonstration

Caractérisation. Si $M=XY^{\top}$ avec $X=(x_i)$ et $Y=(y_j)$ non nuls, la colonne $j$ de $M$ est $y_jX$ : toutes les colonnes sont colinéaires à $X$ et l'une d'elles est non nulle (prendre $j$ tel que $y_j\neq 0$ ), donc $\operatorname{rg}M=1$ . Réciproquement, si $\operatorname{rg}M=1$ , l'image de $M$ est une droite $\operatorname{Vect}(X)$ avec $X\neq 0$ ; chaque colonne s'écrit $C_j=y_jX$ , et $Y=(y_j)\neq 0$ puisque $M\neq 0$ . Alors $M=XY^{\top}$ .

Trace et carré. $\operatorname{tr}(XY^{\top})=\sum_i x_iy_i=Y^{\top}X$ . Par associativité, $M^2=X(Y^{\top}X)Y^{\top}=(Y^{\top}X)\,XY^{\top}=(\operatorname{tr}M)M$ , et la formule pour $M^k$ suit par récurrence.

Polynôme caractéristique. Par le théorème du rang, $\dim\ker M=n-1$ . Soit $(e_1,\dots,e_{n-1})$ une base de $\ker M$ , complétée en une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $\K^n$ . Dans cette base, les $n-1$ premières colonnes de la matrice $M'$ de l'endomorphisme associé à $M$ sont nulles : $M'$ est triangulaire supérieure de diagonale $(0,\dots,0,c)$ . Donc $\chi_M=X^{n-1}(X-c)$ (indéterminée $X$ ) et $c=\operatorname{tr}M'=\operatorname{tr}M$ .

Diagonalisabilité. Si $\operatorname{tr}M\neq 0$ , le polynôme $X(X-\operatorname{tr}M)$ annule $M$ et est scindé à racines simples : $M$ est diagonalisable, semblable à $\operatorname{diag}(\operatorname{tr}M,0,\dots,0)$ . Si $\operatorname{tr}M=0$ , alors $M^2=0$ ; si $M$ était diagonalisable, sa seule valeur propre serait $0$ et $M$ serait nulle, ce qui contredit $\operatorname{rg}M=1$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Reconnaître une matrice de rang $1$ : toutes ses colonnes (ou toutes ses lignes) sont proportionnelles à une même colonne non nulle, par exemple la matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$ , ou $(a_ib_j)_{i,j}$ .
En termes d'endomorphismes : $u\in\mathcal{L}(E)$ est de rang $1$ si et seulement si $u=\varphi(\cdot)\,a$ avec $a\in E$ non nul et $\varphi$ forme linéaire non nulle ; alors $\operatorname{tr}u=\varphi(a)$ .
Matrices « scalaire plus rang 1 » : $\lambda I_n+M$ a pour valeurs propres $\lambda$ (multiplicité $n-1$ ) et $\lambda+\operatorname{tr}M$ .

Exemples d'application

Matrice à coefficients uniformes hors de la diagonale

Soit $J\in\mathcal{M}_n(\R)$ ( $n\ge 2$ ) la matrice dont tous les coefficients valent $1$ . On a $J=UU^{\top}$ avec $U=(1,\dots,1)^{\top}$ , $\operatorname{tr}J=n$ , $J^2=nJ$ , $\chi_J=X^{n-1}(X-n)$ , et $J$ est diagonalisable.

La matrice $A=(a-b)I_n+bJ$ , de coefficients diagonaux $a$ et de coefficients hors diagonale $b$ , a donc pour valeurs propres $a-b$ (multiplicité $n-1$ ) et $a+(n-1)b$ . Si ces deux nombres sont non nuls, $A$ est inversible et, en cherchant l'inverse sous la forme $\alpha I_n+\beta J$ (à l'aide de $J^2=nJ$ ), on trouve

A^{-1}=\frac{1}{a-b}\Big(I_n-\frac{b}{a+(n-1)b}\,J\Big).

Déterminant et inverse de I + M

Si $M=XY^{\top}$ est de rang $1$ , les valeurs propres de $I_n+M$ sont $1$ (multiplicité $n-1$ ) et $1+\operatorname{tr}M$ , donc

\det(I_n+XY^{\top})=1+Y^{\top}X.

Si $1+\operatorname{tr}M\neq 0$ , la relation $M^2=(\operatorname{tr}M)M$ montre que $(I_n+M)\Big(I_n-\frac{1}{1+\operatorname{tr}M}M\Big)=I_n$ : c'est la formule de Sherman-Morrison.

Erreurs classiques

Croire qu'une matrice de rang $1$ est toujours diagonalisable : $E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est de rang $1$ , de trace nulle, nilpotente et non diagonalisable.
Oublier que $X$ et $Y$ doivent être non nuls : sinon $XY^{\top}=0$ est de rang $0$ .
Confondre $XY^{\top}$ (matrice $n\times n$ de rang $1$ ) et $Y^{\top}X$ (scalaire, égal à la trace).
Croire que l'écriture $M=XY^{\top}$ est unique : on peut remplacer $(X,Y)$ par $(\lambda X,\lambda^{-1}Y)$ pour tout $\lambda\neq 0$ . Seule la droite $\operatorname{Vect}(X)=\operatorname{Im}M$ est déterminée, ainsi que $\ker M=\{Z\in\K^p : Y^{\top}Z=0\}$ .

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), puis deuxième année, chapitre « Rang ; réduction des endomorphismes ».

Le rang est au programme de première année, mais les propriétés des matrices de rang $1$ ne figurent pas en tant que telles dans le cours : ce sont des résultats classiques. Leurs démonstrations tiennent en quelques lignes et doivent être refaites dans une copie.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Algèbre linéaire (703 sujets), Réduction des endomorphismes (472 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

E3A Mathématiques PSI 2024 : Exercice 3 : une matrice symétrique réelle
X ENS Mathématiques PSI 2024 : Partie IV : application à des cas particuliers
E3A Mathématiques PSI 2023
CCINP Mathématiques PSI 2022 : Problème 2, partie I : matrices de rang 1
Mines Mathématiques 1 MP 2020 : Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien
X ENS Mathématiques PC 2018 : Partie I : cas particuliers

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une matrice est de rang 1 ?

Il suffit de montrer qu'elle est non nulle et que toutes ses colonnes sont colinéaires à une même colonne, ou de l'écrire sous la forme $XY^{\top}$ avec $X$ , $Y$ non nuls.

Quelles sont les valeurs propres d'une matrice de rang 1 ?

Pour $M\in\mathcal{M}_n(\K)$ de rang $1$ , $\chi_M=X^{n-1}(X-\operatorname{tr}M)$ : la valeur propre $0$ avec multiplicité au moins $n-1$ , et $\operatorname{tr}M$ .

Une matrice de rang 1 est-elle diagonalisable ?

Si et seulement si sa trace est non nulle. Si $\operatorname{tr}M=0$ , elle est nilpotente non nulle ( $M^2=0$ ), donc non diagonalisable.

Matrice de rang 1