Théorème de Cayley-Hamilton

Par les matrices compagnons. Il suffit de montrer que $\chi_u(u)(x)=0$ pour tout $x\in E$. C'est clair si $x=0$. Soit $x\neq 0$ et $p$ le plus grand entier tel que la famille $(x,u(x),\dots,u^{p-1}(x))$ soit libre ; on a $1\le p\le n$. Par maximalité de $p$, il existe $a_0,\dots,a_{p-1}\in\K$ tels que

Le sous-espace $F=\operatorname{Vect}\big(x,\dots,u^{p-1}(x)\big)$ est stable par $u$ : $u$ envoie $u^k(x)$ sur $u^{k+1}(x)\in F$ pour $k\le p-2$, et $u^{p-1}(x)$ sur $u^p(x)\in F$. Dans cette base, la matrice de $u_F$ est la matrice compagnon du polynôme $Q=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\cdots+a_0$, donc $\chi_{u_F}=Q$ (calcul du polynôme caractéristique d'une matrice compagnon). Complétons en une base de $E$ : la matrice de $u$ est triangulaire par blocs $\begin{pmatrix}C_Q&B\\0&D\end{pmatrix}$, donc $\chi_u=Q\,\chi_D$ (déterminant par blocs ; si $F=E$, il n'y a pas de bloc $D$ et l'on pose $\chi_D=1$). Comme les polynômes en $u$ commutent,

Par la comatrice (version matricielle). Soit $A\in\mathcal{M}_n(\K)$ et $\chi_A=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. La formule de la comatrice, valable dans $\mathcal{M}_n(\K[X])$, donne $(XI_n-A)\operatorname{com}(XI_n-A)^{\top}=\chi_A(X)\,I_n$. Les coefficients de $\operatorname{com}(XI_n-A)$ sont des polynômes de degré $\le n-1$, donc $\operatorname{com}(XI_n-A)^{\top}=\sum_{k=0}^{n-1}X^kB_k$ avec $B_k\in\mathcal{M}_n(\K)$. En posant $B_{-1}=B_n=0$ et en identifiant les coefficients de $X^k$ (coefficient par coefficient) :

On multiplie à gauche par $A^k$ et on somme : $\sum_{k=0}^n\big(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\big)=\sum_{k=0}^nc_kA^k$. La somme de gauche est télescopique et vaut $A^0B_{-1}-A^{n+1}B_n=0$. Donc $\chi_A(A)=0$.

• Inverse comme polynôme en $A$ : si $\chi_A=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots+c_0$ et $A$ est inversible, alors $c_0=(-1)^n\det A\neq 0$ et $A^{-1}=-\frac{1}{c_0}\big(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n\big)$.
• Puissances : $A^m$ est le reste de la division euclidienne de $X^m$ par $\chi_A$, évalué en $A$.
• Polynôme minimal : il divise $\chi_A$ ; on le cherche parmi les diviseurs unitaires de $\chi_A$ qui ont les mêmes racines que $\chi_A$.

Le théorème fait partie du cours de réduction de deuxième année. Plusieurs démonstrations sont classiques ; celle par les matrices compagnons et celle par la comatrice sont présentées ci-dessous.