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Formule de Grassmann

La formule de Grassmann relie la dimension d'une somme de deux sous-espaces vectoriels à celle de leur intersection. C'est l'outil de base pour montrer qu'une intersection n'est pas réduite à {0}\{0\} ou qu'une somme est directe, sans calcul de coordonnées.

Au programmePremière année (MPSI, MP2I, PCSI) · Espaces vectoriels de dimension finie

Énoncé

Théorème (formule de Grassmann)

Soit EE un K\K-espace vectoriel et FF, GG deux sous-espaces vectoriels de EE de dimension finie. Alors F+GF+G est de dimension finie et

dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G).\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F\cap G).

En particulier, dim⁡(F+G)≤dim⁡F+dim⁡G\dim(F+G) \le \dim F + \dim G, avec égalité si et seulement si la somme F+GF+G est directe, c'est-à-dire si et seulement si F∩G={0}F\cap G = \{0\}.

L'espace EE lui-même n'a pas besoin d'être de dimension finie.

Démonstration

Par le théorème du rang. On considère l'application

φ:F×G→E,(x,y)↦x+y.\varphi : F\times G \to E,\qquad (x,y)\mapsto x+y.

Elle est linéaire, son image est F+GF+G et l'espace de départ F×GF\times G est de dimension finie égale à dim⁡F+dim⁡G\dim F+\dim G. Son noyau est

ker⁡φ={(x,−x):x∈F∩G},\ker\varphi = \{(x,-x) : x\in F\cap G\},

car x+y=0x+y=0 avec x∈Fx\in F et y∈Gy\in G impose x=−y∈F∩Gx=-y\in F\cap G. L'application x↦(x,−x)x\mapsto (x,-x) est un isomorphisme de F∩GF\cap G sur ker⁡φ\ker\varphi, donc dim⁡ker⁡φ=dim⁡(F∩G)\dim\ker\varphi = \dim(F\cap G). Le théorème du rang donne alors F+G=Im⁡φF+G = \operatorname{Im}\varphi de dimension finie et

dim⁡F+dim⁡G=dim⁡(F+G)+dim⁡(F∩G).\dim F + \dim G = \dim(F+G) + \dim(F\cap G).

Par un supplémentaire. F∩GF\cap G est un sous-espace de GG, qui est de dimension finie : il admet un supplémentaire HH dans GG, avec dim⁡H=dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim H = \dim G - \dim(F\cap G). On a F+G=F+(F∩G)+H=F+HF+G = F+(F\cap G)+H = F+H. De plus F∩H⊂F∩GF\cap H \subset F\cap G car H⊂GH\subset G, donc F∩H⊂(F∩G)∩H={0}F\cap H\subset (F\cap G)\cap H=\{0\}. La somme F+HF+H est donc directe et dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡H=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim(F+G) = \dim F + \dim H = \dim F+\dim G-\dim(F\cap G).

Méthode : quand et comment l'utiliser

On utilise la formule dans deux sens.

  • Minorer une intersection : comme F+G⊂EF+G\subset E, on a dim⁡(F∩G)≥dim⁡F+dim⁡G−dim⁡E\dim(F\cap G) \ge \dim F+\dim G-\dim E lorsque EE est de dimension finie.
  • Montrer qu'une somme est directe ou égale à EE : si dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E\dim F+\dim G=\dim E, il suffit de vérifier F∩G={0}F\cap G=\{0\} pour obtenir E=F⊕GE=F\oplus G.

Exemples d'application

Deux plans distincts de R3\R^3 se coupent selon une droite

Soit P1≠P2P_1\neq P_2 deux plans vectoriels de R3\R^3. La somme P1+P2P_1+P_2 contient strictement P1P_1, donc dim⁡(P1+P2)=3\dim(P_1+P_2)=3. La formule donne dim⁡(P1∩P2)=2+2−3=1\dim(P_1\cap P_2)=2+2-3=1 : l'intersection est une droite vectorielle.

Noyau et image d'un endomorphisme

Soit u∈L(E)u\in\mathcal{L}(E) avec EE de dimension finie nn. Par le théorème du rang, dim⁡ker⁡u+dim⁡Im⁡u=n\dim\ker u+\dim\operatorname{Im}u=n. D'après la formule de Grassmann, E=ker⁡u⊕Im⁡uE=\ker u\oplus\operatorname{Im}u si et seulement si ker⁡u∩Im⁡u={0}\ker u\cap\operatorname{Im}u=\{0\}, ce qui équivaut à ker⁡u=ker⁡u2\ker u = \ker u^2.

Erreurs classiques

  • Écrire dim⁡(F∪G)\dim(F\cup G) : la réunion de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace. La formule porte sur la somme F+GF+G.

  • Étendre la formule à trois sous-espaces sur le modèle de l'inclusion-exclusion. Trois droites distinctes D1,D2,D3D_1,D_2,D_3 de R2\R^2 ont des intersections deux à deux et triple nulles, mais dim⁡(D1+D2+D3)=2≠1+1+1\dim(D_1+D_2+D_3)=2\neq 1+1+1.

  • Conclure E=F⊕GE=F\oplus G à partir de F∩G={0}F\cap G=\{0\} seul : il faut aussi dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E\dim F+\dim G=\dim E, et cela n'a de sens qu'en dimension finie.

  • Oublier l'hypothèse de dimension finie de FF et GG : sinon l'égalité n'a pas de sens, puisqu'on ne peut pas soustraire des dimensions infinies.

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), chapitre « Espaces vectoriels de dimension finie ».

L'énoncé et sa démonstration sont au cœur du cours de première année. En deuxième année, la formule sert constamment en réduction et dans les espaces euclidiens.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Algèbre linéaire (703 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Quelle différence entre la formule de Grassmann et le théorème du rang ?

La formule de Grassmann se déduit du théorème du rang appliqué à (x,y)↦x+y(x,y)\mapsto x+y sur F×GF\times G. Les deux résultats sont équivalents en pratique ; Grassmann est la forme adaptée aux sommes de sous-espaces.

Parle-t-on de formule ou de théorème de Grassmann ?

Les deux expressions désignent le même résultat : dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G) pour deux sous-espaces de dimension finie.

Existe-t-il une formule pour trois sous-espaces ?

Non, pas de formule générale en fonction des seules intersections : l'exemple de trois droites du plan le montre. On a seulement l'inégalité dim⁡(F+G+H)≤dim⁡F+dim⁡G+dim⁡H\dim(F+G+H)\le\dim F+\dim G+\dim H, avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Exercices corrigés utilisant : Formule de Grassmann

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