Lemme des noyaux

Q: À quoi sert le lemme des noyaux en réduction ?

Il donne la décomposition de E en sous-espaces caractéristiques à partir de χ_u, et le critère : u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Q: Comment calculer les projecteurs de la décomposition ?

Avec une relation de Bézout. Pour deux facteurs, si UP_1+VP_2=1, le projecteur sur ker P_1(u) parallèlement à ker P_2(u) est (VP_2)(u) restreint à ker P(u).

Le lemme des noyaux découpe le noyau d'un polynôme d'endomorphisme en somme directe de noyaux plus petits, dès que le polynôme se factorise en facteurs premiers entre eux. Appliqué à un polynôme annulateur, il décompose tout l'espace en sous-espaces stables : c'est le point de départ de la plupart des résultats de réduction.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Réduction des endomorphismes (polynômes d'endomorphismes)

Énoncé

Théorème (lemme de décomposition des noyaux)

Soit $E$ un $\K$ -espace vectoriel, $u\in\mathcal{L}(E)$ , et $P_1,\dots,P_r\in\K[X]$ ( $r\ge 2$ ) des polynômes deux à deux premiers entre eux. On pose $P=P_1P_2\cdots P_r$ . Alors

\ker P(u) = \ker P_1(u)\oplus\ker P_2(u)\oplus\cdots\oplus\ker P_r(u).

De plus, les projecteurs associés à cette décomposition sont des restrictions à $\ker P(u)$ de polynômes en $u$ .

En particulier, si $P$ est annulateur de $u$ (c'est-à-dire $P(u)=0$ ), alors $E=\ker P_1(u)\oplus\cdots\oplus\ker P_r(u)$ , et chaque $\ker P_i(u)$ est stable par $u$ .

Aucune hypothèse de dimension finie n'est nécessaire.

Démonstration

Cas $r=2$ . Comme $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux, le théorème de Bézout fournit $U,V\in\K[X]$ tels que $UP_1+VP_2=1$ . En évaluant en $u$ :

\operatorname{id}_E = U(u)\circ P_1(u) + V(u)\circ P_2(u).

On rappelle que deux polynômes en $u$ commutent.

Inclusion $\ker P_1(u)+\ker P_2(u)\subset\ker P(u)$ . Si $P_1(u)(x)=0$ , alors $P(u)(x)=P_2(u)\big(P_1(u)(x)\big)=0$ ; de même pour $P_2$ .
Somme directe. Si $x\in\ker P_1(u)\cap\ker P_2(u)$ , alors $x=U(u)\big(P_1(u)(x)\big)+V(u)\big(P_2(u)(x)\big)=0$ .
Inclusion réciproque. Soit $x\in\ker P(u)$ . On pose $x_1=V(u)P_2(u)(x)$ et $x_2=U(u)P_1(u)(x)$ , de sorte que $x=x_1+x_2$ . Alors $P_1(u)(x_1)=V(u)\big(P(u)(x)\big)=0$ et $P_2(u)(x_2)=U(u)\big(P(u)(x)\big)=0$ .

Ainsi $\ker P(u)=\ker P_1(u)\oplus\ker P_2(u)$ , et le projecteur sur $\ker P_1(u)$ parallèlement à $\ker P_2(u)$ est la restriction de $(VP_2)(u)$ .

Cas général, par récurrence sur $r$ . Supposons le résultat vrai pour $r-1$ facteurs. Le polynôme $Q=P_1\cdots P_{r-1}$ est premier avec $P_r$ , car un produit de polynômes premiers avec $P_r$ est premier avec $P_r$ (lemme de Gauss). Le cas $r=2$ donne $\ker P(u)=\ker Q(u)\oplus\ker P_r(u)$ , et l'hypothèse de récurrence appliquée à $Q$ donne $\ker Q(u)=\ker P_1(u)\oplus\cdots\oplus\ker P_{r-1}(u)$ . On obtient la décomposition annoncée ; les projecteurs, composés de polynômes en $u$ , restent des polynômes en $u$ .

Stabilité. Chaque $\ker P_i(u)$ est stable par $u$ , car $u$ commute avec $P_i(u)$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Pour décomposer $E$ en sous-espaces stables par $u$ :

Trouver un polynôme annulateur $P$ de $u$ (hypothèse de l'énoncé, polynôme caractéristique par Cayley-Hamilton, polynôme minimal).
Le factoriser en facteurs deux à deux premiers entre eux, typiquement $P=\prod_i (X-\lambda_i)^{m_i}$ avec les $\lambda_i$ distincts.
Conclure $E=\bigoplus_i\ker(u-\lambda_i\operatorname{id})^{m_i}$ : ce sont les sous-espaces caractéristiques lorsque $P=\chi_u$ est scindé.

Si les $m_i$ valent tous $1$ , on obtient une somme directe d'espaces propres : $u$ est diagonalisable.

Exemples d'application

Projecteurs et symétries

Si $p\in\mathcal{L}(E)$ vérifie $p^2=p$ , le polynôme $X^2-X=X(X-1)$ est annulateur et $X$ , $X-1$ sont premiers entre eux. Le lemme donne $E=\ker p\oplus\ker(p-\operatorname{id})$ : on retrouve la décomposition d'un projecteur.

De même, si $s^2=\operatorname{id}$ et $\K=\R$ ou $\C$ , alors $X^2-1=(X-1)(X+1)$ donne $E=\ker(s-\operatorname{id})\oplus\ker(s+\operatorname{id})$ , avec les projecteurs $\frac12(\operatorname{id}+s)$ et $\frac12(\operatorname{id}-s)$ , qui sont bien des polynômes en $s$ .

Une matrice annulée par un polynôme à racines simples

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^3=A$ . Le polynôme $X^3-X=X(X-1)(X+1)$ est annulateur et ses trois facteurs sont deux à deux premiers entre eux. D'où

\R^n=\ker A\oplus\ker(A-I_n)\oplus\ker(A+I_n).

En concaténant des bases de ces trois noyaux, on obtient une base de vecteurs propres : $A$ est diagonalisable, semblable à une matrice diagonale à coefficients dans $\{0,1,-1\}$ .

Erreurs classiques

Oublier l'hypothèse « premiers entre eux ». Pour $u$ nilpotent non nul d'indice $2$ , on a $\ker u^2=E$ alors que $\ker u+\ker u=\ker u\neq E$ : on ne peut pas découper $X^2=X\cdot X$ .
Remplacer $\ker(u-\lambda\operatorname{id})^{m}$ par $\ker(u-\lambda\operatorname{id})$ : la multiplicité doit être conservée dans chaque facteur. Le sous-espace caractéristique est en général plus gros que le sous-espace propre.
Conclure $E=\bigoplus\ker P_i(u)$ sans avoir vérifié que $P=\prod P_i$ annule $u$ : sans cela, le lemme ne décrit que $\ker P(u)$ .
Croire que le lemme exige la dimension finie : la démonstration n'utilise que Bézout. La dimension finie sert seulement ensuite, pour parler de bases, de matrices ou de polynôme caractéristique.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Réduction des endomorphismes (polynômes d'endomorphismes) ».

Le lemme de décomposition des noyaux fait partie du cours de réduction de deuxième année. Sa démonstration, qui repose sur la relation de Bézout dans $\K[X]$ , est courte et doit être connue.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Réduction des endomorphismes (472 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Mines Mathématiques 1 MP MPI 2023 : Partie B : stabilité en 0 du système linéaire
X ENS Mathématiques B MP MPI 2023
Mines Mathématiques 2 MP 2022 : Partie 4 : comportement asymptotique
X ENS Mathématiques A MP 2017 : Partie III : réduction simultanée
Mines Mathématiques 1 MP 2011 : Partie A : décomposition de Dunford

Questions fréquentes

Lemme des noyaux ou lemme de décomposition des noyaux ?

Les deux noms (ainsi que « théorème de décomposition des noyaux ») désignent le même résultat : $\ker(P_1\cdots P_r)(u)=\bigoplus_i\ker P_i(u)$ pour des $P_i$ deux à deux premiers entre eux.

À quoi sert le lemme des noyaux en réduction ?

Il donne la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques à partir de $\chi_u$ , et le critère : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Comment calculer les projecteurs de la décomposition ?

Avec une relation de Bézout. Pour deux facteurs, si $UP_1+VP_2=1$ , le projecteur sur $\ker P_1(u)$ parallèlement à $\ker P_2(u)$ est $(VP_2)(u)$ restreint à $\ker P(u)$ .

Lemme des noyaux

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Projecteurs et symétries

Une matrice annulée par un polynôme à racines simples

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Lemme des noyaux ou lemme de décomposition des noyaux ?

À quoi sert le lemme des noyaux en réduction ?

Comment calculer les projecteurs de la décomposition ?

Exercices corrigés utilisant : Lemme des noyaux

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