Polynôme scindé

Proposition. Soit $x_1,\dots,x_r$ les racines distinctes de $P$ dans $\K$, de multiplicités $m_1,\dots,m_r$. Les polynômes $(X-x_i)^{m_i}$ divisent $P$ et sont deux à deux premiers entre eux, donc leur produit $Q$ divise $P$, avec $\deg Q=\sum m_i$. Si $\sum m_i=n$, alors $P=\lambda Q$ où $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$ : $P$ est scindé. Réciproquement, si $P=\lambda\prod_{i=1}^{r}(X-x_i)^{m_i}$ avec les $x_i$ distincts, la multiplicité de $x_i$ est exactement $m_i$ (l'autre facteur ne s'annule pas en $x_i$) et $\sum m_i=\deg P$. Un diviseur non constant de $P$ est, par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, de la forme $\mu\prod(X-x_i)^{k_i}$ avec $k_i\le m_i$ : il est scindé.

Trigonalisation, sens direct. Si la matrice de $u$ dans une base est triangulaire de diagonale $(t_1,\dots,t_n)$, alors $\chi_u=\prod_{i}(X-t_i)$ est scindé.

Réciproque, par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, il n'y a rien à montrer. Soit $n\ge 2$ et supposons le résultat vrai en dimension $n-1$ (pour les matrices). Soit $A\in\mathcal{M}_n(\K)$ avec $\chi_A$ scindé. Il a au moins une racine $\lambda$, qui est valeur propre ; soit $e_1$ un vecteur propre associé, complété en une base de $\K^n$. Dans cette base,

Par déterminant par blocs, $\chi_A=(X-\lambda)\chi_{A'}$, donc $\chi_{A'}$ divise $\chi_A$ et est scindé. Par hypothèse de récurrence, $A'=QT'Q^{-1}$ avec $T'$ triangulaire supérieure et $Q\in GL_{n-1}(\K)$. Alors, avec $R=\begin{pmatrix}1&0\\0&Q\end{pmatrix}$,

qui est triangulaire supérieure. Donc $A$ est trigonalisable.

• Sur $\C$, tout polynôme non constant est scindé : toute matrice complexe est trigonalisable, et $\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i$, $\det A=\prod\lambda_i$ (valeurs propres comptées avec multiplicité).
• Sur $\R$, vérifier les racines : $\chi_A$ scindé sur $\R$ équivaut à « toutes les valeurs propres complexes de $A$ sont réelles ».
• Diagonalisabilité : chercher un polynôme annulateur scindé à racines simples (lemme des noyaux). Un polynôme annulateur seulement scindé ne suffit pas.
• Restriction : si $F$ est stable par $u$ et $\chi_u$ scindé, alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$, donc est scindé, et $u_F$ est trigonalisable.

La notion de polynôme scindé et les relations entre coefficients et racines sont vues en première année. Le théorème « trigonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé » fait partie du cours de réduction de deuxième année.