Matrice compagnon

Polynôme caractéristique. La matrice $XI_n-C_P$ a des coefficients $X$ sur la diagonale (sauf en position $(n,n)$), des $-1$ juste sous la diagonale, des $0$ ailleurs, et sa dernière colonne vaut $(a_0,\dots,a_{n-2},X+a_{n-1})^{\top}$. On effectue $L_1\leftarrow L_1+XL_2+X^2L_3+\cdots+X^{n-1}L_n$ (opération valable dans $\mathcal{M}_n(\K[X])$, qui ne change pas le déterminant). Pour $j<n$, la colonne $j$ n'a que deux coefficients non nuls, $X$ en ligne $j$ et $-1$ en ligne $j+1$, donc le nouveau coefficient $(1,j)$ vaut $X^{j-1}\cdot X-X^{j}=0$. Le nouveau coefficient $(1,n)$ vaut

En développant selon la première ligne, $\chi_{C_P}=(-1)^{1+n}P(X)\,\Delta$, où $\Delta$ est le déterminant obtenu en supprimant la ligne $1$ et la colonne $n$. Cette matrice de taille $n-1$ est triangulaire supérieure, de diagonale $(-1,\dots,-1)$, donc $\Delta=(-1)^{n-1}$ et $\chi_{C_P}=P$.

Polynôme minimal. Soit $u$ l'endomorphisme de $\K^n$ canoniquement associé et $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique. Par construction, $u(e_i)=e_{i+1}$ pour $i<n$, donc $e_i=u^{i-1}(e_1)$, et $u(e_n)=-\sum_{k=0}^{n-1}a_ke_{k+1}$. Ainsi

puis $P(u)(e_i)=u^{i-1}\big(P(u)(e_1)\big)=0$ pour tout $i$ : $P$ annule $u$. Si $Q=\sum_{k=0}^{d}q_kX^k$ est non nul de degré $d\le n-1$, alors $Q(u)(e_1)=\sum_{k=0}^{d}q_ke_{k+1}\neq 0$ car la famille $(e_1,\dots,e_n)$ est libre. Aucun polynôme non nul de degré $<n$ n'annule $u$, et $P$ est unitaire de degré $n$ : c'est le polynôme minimal.

Espaces propres. Dans $C_P-\lambda I_n$, la sous-matrice formée des lignes $2$ à $n$ et des colonnes $1$ à $n-1$ est triangulaire supérieure à diagonale de $1$, donc inversible : les $n-1$ premières colonnes sont libres, donc $\operatorname{rg}(C_P-\lambda I_n)\ge n-1$ et $\dim\ker(C_P-\lambda I_n)\le 1$, avec égalité si $P(\lambda)=0$.

Diagonalisabilité. $C_P$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal $P$ est scindé à racines simples.

• Fabriquer une matrice de polynôme caractéristique ou minimal imposé : prendre $C_P$.
• Reconnaître une matrice compagnon : s'il existe $x$ tel que $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$ (endomorphisme cyclique), la matrice de $u$ dans cette base est une matrice compagnon.
• Vecteurs propres : si $P(\lambda)=0$, le vecteur $(1,\lambda,\dots,\lambda^{n-1})^{\top}$ est propre pour $C_P^{\top}$ associé à $\lambda$. Si $P$ a $n$ racines distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, on en déduit $VC_P=DV$ avec $V=V(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ (matrice de Vandermonde, inversible) et $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.

Les matrices compagnons sont généralement introduites en deuxième année avec le polynôme caractéristique. Le calcul $\chi_{C_P}=P$ est un classique à savoir refaire ; le lien avec les endomorphismes cycliques est souvent traité en exercice.