Matrice de Vandermonde

On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n=2$, $\det\begin{pmatrix}1&x_1\\1&x_2\end{pmatrix}=x_2-x_1$.

Soit $n\ge 3$ et supposons la formule vraie au rang $n-1$. Notons $C_1,\dots,C_n$ les colonnes de $V=V(x_1,\dots,x_n)$. On effectue successivement, pour $j=n,n-1,\dots,2$ (dans cet ordre, afin d'utiliser à chaque fois la colonne $C_{j-1}$ non encore modifiée), l'opération

Ces opérations ne changent pas le déterminant. Le coefficient $(i,j)$ devient, pour $j\ge 2$, $x_i^{\,j-1}-x_1x_i^{\,j-2}=x_i^{\,j-2}(x_i-x_1)$. La première ligne devient donc $(1,0,\dots,0)$. En développant selon cette ligne :

On factorise $(x_i-x_1)$ dans chaque ligne $i$ (linéarité par rapport à chaque ligne) :

L'hypothèse de récurrence donne $\det V(x_2,\dots,x_n)=\prod_{2\le i<j\le n}(x_j-x_i)$, d'où la formule au rang $n$.

Inversibilité. Le produit est non nul si et seulement si $x_j\neq x_i$ pour tous $i<j$.

Interprétation. $V$ est la matrice, dans les bases canoniques, de l'application linéaire $\K_{n-1}[X]\to\K^n$, $P\mapsto\big(P(x_1),\dots,P(x_n)\big)$. Lorsque les $x_i$ sont distincts, elle est injective (un polynôme non nul de degré au plus $n-1$ a au plus $n-1$ racines), donc bijective : c'est l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur de Lagrange.

On reconnaît une matrice de Vandermonde dès qu'apparaît un système du type $\sum_{j} c_j\,\lambda_j^{\,k}=0$ pour $k=0,\dots,n-1$ (ou $k=1,\dots,n$), avec des $\lambda_j$ distincts. Pour $k=1,\dots,n$, la matrice $(\lambda_j^{\,k})$ a pour déterminant $\lambda_1\cdots\lambda_n\det V(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ : elle est inversible si les $\lambda_j$ sont distincts et non nuls.

Le déterminant de Vandermonde est un calcul classique du chapitre sur les déterminants de première année. Il faut savoir refaire la démonstration rapidement ; il est constamment réutilisé en deuxième année (réduction, interpolation, suites récurrentes).