Polynôme caractéristique d'une matrice par blocs

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice carrée. On considère la matrice par blocs $M$ définie dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ par :

M = \begin{pmatrix} A & 4A A & A \end{pmatrix}

Déterminer l'expression du polynôme caractéristique de $M$ , noté $\chi_M$ , en fonction de celui de $A$ , noté $\chi_A$ .

1.

On pourra remarquer que $M$ s'écrit comme un produit par blocs faisant intervenir la matrice $S = \begin{pmatrix} 1 & 4 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

2.

Chercher à diagonaliser $S$ pour en déduire une matrice de passage par blocs permettant de transformer $M$ en une matrice diagonale par blocs.

3.

Utiliser les propriétés du déterminant pour relier $\det(XI_n - 3A)$ et $\det(XI_n + A)$ au polynôme $\chi_A$ .

Idées clés

•

Réduction d'une matrice par blocs via la réduction de la "matrice squelette" associée.

•

Relation entre le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ et celui de ses multiples $\lambda A$ .

•

Utilisation de la structure de bloc-diagonale pour le calcul du déterminant.

1. Analyse de la structure de $M$ .

On observe que la matrice $M$ peut s'écrire sous la forme d'un produit par blocs :

M = \begin{pmatrix} 1 \cdot A & 4 \cdot A 1 \cdot A & 1 \cdot A \end{pmatrix}

Posons la matrice $S = \begin{pmatrix} 1 & 4 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ . Le calcul du polynôme caractéristique de $S$ donne :

\chi_S(X) = \det(XI_2 - S) = (X-1)^2 - 4 = (X-1-2)(X-1+2) = (X-3)(X+1)

Les valeurs propres de $S$ sont donc $3$ et $-1$ . Comme $S$ possède deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ , elle est diagonalisable.

2. Réduction de la matrice $S$ .

Cherchons les vecteurs propres de $S$ . Un calcul direct montre que :

Pour $\lambda = 3$ : $S \begin{pmatrix} 2 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2 1 \end{pmatrix}$ .
Pour $\lambda = -1$ : $S \begin{pmatrix} 2 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 2 -1 \end{pmatrix}$ .

En posant $P = \begin{pmatrix} 2 & 2 1 & -1 \end{pmatrix}$ , on a la relation de similitude $P^{-1}SP = D$ avec $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

3. Construction d'une similitude par blocs pour $M$ .

Définissons la matrice $\mathcal{P} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ par blocs en utilisant les coefficients de $P$ :

\mathcal{P} = \begin{pmatrix} 2I_n & 2I_n I_n & -I_n \end{pmatrix}

Cette matrice est inversible et son inverse est $\mathcal{P}^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} I_n & 2I_n I_n & -2I_n \end{pmatrix}$ . Par un calcul de produit par blocs, on obtient :

\mathcal{P}^{-1} M \mathcal{P} = \begin{pmatrix} 3A & 0 0 & -A \end{pmatrix}

4. Calcul du polynôme caractéristique.

Deux matrices semblables ayant le même polynôme caractéristique, on en déduit :

\chi_M(X) = \det(XI_{2n} - \mathcal{P}^{-1} M \mathcal{P}) = \det \begin{pmatrix} XI_n - 3A & 0 0 & XI_n + A \end{pmatrix}

Par la formule du déterminant d'une matrice diagonale par blocs, il vient :

\chi_M(X) = \det(XI_n - 3A) \times \det(XI_n + A)

5. Expression finale en fonction de $\chi_A$ .

Exprimons chaque facteur à l'aide de $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$ :

Pour le premier bloc : $\det(XI_n - 3A) = \det\left( 3 \left( \frac{X}{3}I_n - A \right) \right) = \boxed{ 3^n \chi_A\left( \frac{X}{3} \right) }$
Pour le second bloc : $\det(XI_n + A) = \det(XI_n - (-A)) = \det( -(-XI_n - A) ) = (-1)^n \det(-XI_n - A)$ D'où : $\det(XI_n + A) = \boxed{ (-1)^n \chi_A(-X) }$

En regroupant les résultats, on obtient l'expression finale :

\boxed{ \chi_M(X) = (-3)^n \chi_A(-X) \chi_A\left( \frac{X}{3} \right) }

Une erreur fréquente consiste à appliquer la formule $\det \begin{pmatrix} \mathcal{A} & \mathcal{B} \mathcal{C} & \mathcal{D} \end{pmatrix} = \det(\mathcal{A}\mathcal{D} - \mathcal{B}\mathcal{C})$ . Celle-ci n'est licite que si les blocs commutent (par exemple si $\mathcal{C}\mathcal{D} = \mathcal{D}\mathcal{C}$ ). Ici, les blocs sont $A, 4A, A$ et $A$ , ils commutent tous entre eux, donc la formule aurait fonctionné, mais la méthode de réduction par blocs est plus générale et plus robuste.