Spectre d'une matrice définie par blocs

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

On considère la matrice $B \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ définie par la structure de blocs suivante :

B = \begin{pmatrix} 0 & A A & 2A \end{pmatrix}

Déterminer le spectre de $B$ , noté $\mathrm{sp}(B)$ , en fonction du spectre de $A$ .

1.

Commencer par exprimer le polynôme caractéristique de $B$ , noté $\chi_B(X) = \det(XI_{2n} - B)$ , en utilisant un calcul de déterminant par blocs.

2.

Utiliser la propriété suivante : si $M, N, P, Q \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et si $M$ commute avec $P$ , alors $\det \begin{pmatrix} M & N P & Q \end{pmatrix} = \det(MQ - PN)$ .

3.

Factoriser le polynôme en $X$ de la forme $X^2 - 2\lambda X - \lambda^2$ pour relier les racines de $\chi_B$ aux valeurs propres $\lambda$ de $A$ .

Idées clés

•

Utilisation du déterminant par blocs avec commutation.

•

Relation entre le polynôme caractéristique d'une fonction d'une matrice et ses valeurs propres.

•

Factorisation de polynômes du second degré.

1. Expression du polynôme caractéristique de $B$ .

Soit $X \in \mathbb{C}$ . Par définition, le polynôme caractéristique de $B$ est :

\chi_B(X) = \det(XI_{2n} - B) = \det \begin{pmatrix} XI_n & -A -A & XI_n - 2A \end{pmatrix}

On observe que le bloc $M = XI_n$ commute avec le bloc $P = -A$ car toute matrice scalaire commute avec n'importe quelle matrice carrée de même taille.

D'après le lemme sur le déterminant d'une matrice par blocs dont les deux blocs de gauche commutent, on a :

\chi_B(X) = \det \left( XI_n (XI_n - 2A) - (-A)(-A) \right)

En développant l'expression à l'intérieur du déterminant, on obtient :

\chi_B(X) = \det \left( X^2 I_n - 2XA - A^2 \right)

2. Lien avec le spectre de $A$ .

Notons $P(X, Y) = X^2 - 2XY - Y^2$ . Alors l'expression précédente s'écrit :

\chi_B(X) = \det \left( P(X, A) \right)

Pour une valeur de $X$ fixée, les valeurs propres de la matrice $P(X, A)$ sont de la forme $P(X, \lambda)$ où $\lambda \in \mathrm{sp}(A)$ .

Ainsi, le déterminant de $P(X, A)$ , qui est le produit de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité), s'exprime par :

\chi_B(X) = \prod_{\lambda \in \mathrm{sp}(A)} (X^2 - 2\lambda X - \lambda^2)

Une valeur $x$ appartient au spectre de $B$ si et seulement si elle est racine de ce produit, donc s'il existe $\lambda \in \mathrm{sp}(A)$ tel que :

x^2 - 2\lambda x - \lambda^2 = 0

3. Résolution de l'équation quadratique.

Considérons l'équation $x^2 - 2\lambda x - \lambda^2 = 0$ d'inconnue $x$ . Le discriminant réduit est :

\Delta' = (-\lambda)^2 - 1 \cdot (-\lambda^2) = \lambda^2 + \lambda^2 = 2\lambda^2

Les solutions sont donc :

x_1 = \lambda + \sqrt{2\lambda^2} = \lambda(1 + \sqrt{2})   \text{et}   x_2 = \lambda - \sqrt{2\lambda^2} = \lambda(1 - \sqrt{2})

Conclusion :

Le spectre de $B$ est constitué de l'ensemble des valeurs obtenues en multipliant chaque valeur propre de $A$ par $(1+\sqrt{2})$ et par $(1-\sqrt{2})$ .

\boxed{\mathrm{sp}(B) = \left\{ (1+\sqrt{2})\lambda \mid \lambda \in \mathrm{sp}(A) \right\} \cup \left\{ (1-\sqrt{2})\lambda \mid \lambda \in \mathrm{sp}(A) \right\}}

Attention à ne pas utiliser la formule $\det(MQ - NP)$ si les blocs ne commutent pas. Ici, la présence de $XI_n$ rend la commutation triviale, mais ce n'est pas le cas pour des blocs quelconques.