Propriétés arithmétiques des puissances de racines

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{Z}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ . On note $x_1, x_2, \dots, x_n$ ses racines dans $\mathbb{C}$ , comptées avec multiplicité, de sorte que :

P = \prod_{i=1}^n (X - x_i)

Pour tout entier naturel non nul $k$ , on définit le polynôme $P_k$ par :

P_k = \prod_{i=1}^n (X - x_i^k)

Démontrer que le polynôme $P_k$ est à coefficients entiers, c'est-à-dire que $P_k \in \mathbb{Z}[X]$ .

1.

Introduire la matrice compagnon associée au polynôme $P$ .

2.

Étudier la nature des coefficients de la puissance $k$ -ième de cette matrice.

3.

Relier les racines de $P_k$ aux valeurs propres de cette nouvelle matrice.

Idées clés

•

Utilisation de la matrice compagnon $C(P)$ dont le polynôme caractéristique est $P$ .

•

Propriété de stabilité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ par produit.

•

Lien entre les valeurs propres de $M$ et celles de $M^k$ .

Résolution.

Considérons le polynôme $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0$ . Puisque $P \in \mathbb{Z}[X]$ , tous les coefficients $a_j$ sont des entiers.

Introduisons la matrice compagnon $C$ associée à $P$ , définie par :

C = \begin{pmatrix} 0 & \dots & \dots & 0 & -a_0 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots 0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})

Un résultat classique sur les matrices compagnons (démontrable par développement du déterminant $\det(XI_n - C)$ par rapport à la dernière colonne ou par récurrence) assure que :

\boxed{\chi_C(X) = \det(XI_n - C) = P(X)}

Par hypothèse, les racines de $P$ sont $x_1, \dots, x_n$ . Ce sont donc exactement les valeurs propres de la matrice $C$ dans $\mathbb{C}$ , comptées avec leurs multiplicités algébriques.

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse à la matrice $A = C^k$ .

Puisque $C$ est à coefficients entiers ( $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ) et que l'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ est stable par produit matriciel, on en déduit par une récurrence immédiate que :

\boxed{A = C^k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})}

Le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A$ , est défini par $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$ .

D'après la formule du déterminant (somme de produits des coefficients de la matrice), les coefficients de $\chi_A$ sont obtenus par des sommes et des produits des coefficients de $A$ .

Comme $A$ est à coefficients entiers, il en résulte que :

\chi_A \in \mathbb{Z}[X]

Déterminons maintenant les racines de $\chi_A$ . La matrice $C$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ car son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$ .

Il existe donc une matrice inversible $Q \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que $C = Q T Q^{-1}$ , où les coefficients diagonaux de $T$ sont les racines de $P$ , à savoir $x_1, \dots, x_n$ .

En élevant à la puissance $k$ , on obtient :

A = C^k = (Q T Q^{-1})^k = Q T^k Q^{-1}

La matrice $T^k$ est également triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux sont les puissances $k$ -ièmes des coefficients diagonaux de $T$ . Ces coefficients sont donc $x_1^k, x_2^k, \dots, x_n^k$ .

Ainsi, les valeurs propres de $A$ sont exactement les $x_i^k$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$ . Le polynôme caractéristique de $A$ s'écrit alors :

\chi_A(X) = \prod_{i=1}^n (X - x_i^k)

Par définition de l'énoncé, ce produit correspond au polynôme $P_k$ . On en conclut :

\boxed{P_k = \chi_A \in \mathbb{Z}[X]}

L'erreur fréquente consiste à essayer de manipuler directement les relations entre racines et coefficients (formules de Viète). Bien que possible via les polynômes symétriques, cette voie est nettement plus calculatoire que l'approche matricielle.