Relations de Newton et matrice compagnon

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P = X^{n} + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k} X^{k}$ un polynôme de $\mathbb{K}[X]$ . On désigne par $x_{1}, \ldots, x_{n}$ les racines de $P$ dans une extension de corps où $P$ est scindé (par exemple $\mathbb{C}$ ), comptées avec leurs multiplicités.

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on définit la somme de Newton d'ordre $k$ par $S_{k} = \sum_{i=1}^{n} (x_{i})^{k}$ .

On introduit la matrice compagnon $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ définie par :

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \vdots & & \ddots & \ddots & 0 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 -a_{0} & -a_{1} & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix}

Établir que pour tout entier $k \geq n$ , on a la relation de récurrence suivante : $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{0} S_{k-n} = 0$
Démontrer que pour tout $k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ , les sommes de Newton vérifient : $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_{1} = -k a_{n-k}$

1.

Commencer par rappeler ou démontrer le lien entre les racines de $P$ et les valeurs propres de la matrice compagnon $C$ .

2.

Pour la première question, utiliser le théorème de Cayley-Hamilton appliqué à la matrice $C$ et exploiter la linéarité de la trace.

3.

Pour la seconde question, on peut utiliser la relation entre la dérivée du polynôme caractéristique et les sommes de Newton : $P'(X) = \sum_{i=1}^n \frac{P(X)}{X-x_i}$ , ou travailler sur les traces des puissances de $C$ en lien avec les polynômes symétriques élémentaires.

Idées clés

•

Utilisation du polynôme caractéristique de la matrice compagnon.

•

Lien entre spectre et trace : $\text{Tr}(C^k) = \sum \lambda_i^k$ .

•

Théorème de Cayley-Hamilton pour obtenir des relations de récurrence.

Résolution.

Par un calcul classique de déterminant (par exemple par récurrence ou développement selon la dernière ligne), on montre que le polynôme caractéristique de la matrice compagnon $C$ est : $\chi_C(X) = \det(XI_n - C) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0 = P(X)$
Les valeurs propres de $C$ (comptées avec multiplicités) sont donc exactement les racines $x_1, \dots, x_n$ du polynôme $P$ . Pour toute matrice $M$ , la trace de $M^k$ est égale à la somme des puissances $k$ -ièmes de ses valeurs propres. On a donc :
$\forall k \in \mathbb{N}, \text{Tr}(C^k) = \sum_{i=1}^n x_i^k = S_k$
D'après le théorème de Cayley-Hamilton, la matrice $C$ annule son polynôme caractéristique $P$ . On a donc l'égalité matricielle :
$C^n + a_{n-1}C^{n-1} + \dots + a_1 C + a_0 I_n = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}$
Soit $k \geq n$ . En multipliant cette égalité par $C^{k-n}$ à gauche, on obtient :
$C^k + a_{n-1}C^{k-1} + \dots + a_0 C^{k-n} = 0$
En appliquant l'application trace, qui est linéaire, il vient :
$\text{Tr}(C^k) + a_{n-1}\text{Tr}(C^{k-1}) + \dots + a_0 \text{Tr}(C^{k-n}) = 0$
En remplaçant les traces par les sommes $S_j$ , on obtient finalement :
$\boxed{ S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0 }$
Pour $1 \leq k < n$ , la méthode précédente ne s'applique pas directement car multiplier par $C^{k-n}$ ferait intervenir des puissances négatives (si $C$ est inversible). Considérons la relation entre $P$ et ses racines : $P(X) = \prod_{i=1}^n (X-x_i)$ . En dérivant cette expression, on obtient $P'(X) = \sum_{i=1}^n \frac{P(X)}{X-x_i}$ . Pour $|X|$ "assez grand" (ou formellement dans $\mathbb{K}((1/X))$ ), on peut écrire le développement en série : $\frac{1}{X-x_i} = \frac{1}{X} \frac{1}{1 - \frac{x_i}{X}} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x_i^j}{X^{j+1}}$
En sommant sur $i$ , on trouve :
$\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x_i^j}{X^{j+1}} = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{S_j}{X^{j+1}}$
On a donc l'égalité formelle $P'(X) = P(X) \sum_{j=0}^{\infty} S_j X^{-(j+1)}$ . Explicitons $P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ et $P'(X) = nX^{n-1} + (n-1)a_{n-1}X^{n-2} + \dots + a_1$ . Le coefficient devant $X^{n-k-1}$ dans le produit $P(X) \left( \sum_{j=0}^{\infty} S_j X^{-(j+1)} \right)$ est donné par :
$S_k + a_{n-1}S_{k-1} + \dots + a_{n-k}S_0$ Or, dans $P'(X)$ , le coefficient de $X^{n-k-1}$ est $(n-k)a_{n-k}$ (pour $k < n$ ). On a donc : $S_k + a_{n-1}S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1}S_1 + a_{n-k}S_0 = (n-k)a_{n-k}$ . Comme $S_0 = \sum_{i=1}^n x_i^0 = n$ , l'égalité devient : $S_k + a_{n-1}S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1}S_1 + n a_{n-k} = n a_{n-k} - k a_{n-k}$
Ce qui se simplifie en :
$\boxed{ S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = -k a_{n-k} }$

Ne pas oublier que $S_0 = n$ (somme de $n$ termes égaux à 1) et non 1. C'est une erreur fréquente qui fausse les relations de Newton pour $k < n$ .