Polynôme caractéristique d'une matrice par blocs

Soit $n$ un entier naturel non nul et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ une matrice carrée.

On définit la matrice $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ par la structure de blocs suivante :

M = \begin{pmatrix} A & A A & A \end{pmatrix}

Déterminer le polynôme caractéristique de $M$ , noté $\chi_M$ , en fonction de celui de $A$ , en distinguant selon la caractéristique du corps $\mathbb{K}$ .

1.

On pourra remarquer que $M$ s'écrit sous la forme d'un produit par blocs faisant intervenir la matrice $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

2.

Chercher une matrice de passage par blocs simple pour réduire $M$ ou utiliser les opérations sur les colonnes et lignes du déterminant $\det(XI - M)$ .

3.

Pour le cas où la caractéristique de $\mathbb{K}$ est 2, calculer $M^2$ .

Idées clés

•

Réduction par blocs à l'aide d'un changement de base.

•

Utilisation de la linéarité du déterminant par rapport aux lignes/colonnes.

•

Étude de la nilpotence dans le cas de la caractéristique 2.

Premier cas : la caractéristique de $\mathbb{K$ $K$ est différente de 2.}

Considérons la matrice de changement de base par blocs définie par :

P = \begin{pmatrix} I_n & I_n -I_n & I_n \end{pmatrix}

Cette matrice est inversible (son déterminant par blocs est $\det(I_n - (-I_n)) = \det(2I_n) = 2^n \neq 0$ ) et son inverse est :

P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_n & -I_n I_n & I_n \end{pmatrix}

Effectuons le produit $M P$ pour observer l'action de $M$ sur les vecteurs de la nouvelle base :

M \begin{pmatrix} I_n -I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - A A - A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 \end{pmatrix}

M \begin{pmatrix} I_n I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A + A A + A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2A 2A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n I_n \end{pmatrix} (2A)

Par conséquent, la matrice $M$ est semblable à la matrice :

M' = P^{-1} M P = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 2A \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique de $M$ est alors :

\chi_M(X) = \det(XI_{2n} - M') = \det \begin{pmatrix} XI_n & 0 0 & XI_n - 2A \end{pmatrix}

Par propriété du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs :

\chi_M(X) = \det(XI_n) \cdot \det(XI_n - 2A) = X^n \cdot \det(XI_n - 2A)

En utilisant la propriété $\det(\lambda I_n - B) = \chi_B(\lambda)$ , et le fait que $\det(XI - 2A) = 2^n \det(\frac{X}{2}I - A)$ , on obtient :

\boxed{\chi_M(X) = 2^n X^n \chi_A\left(\frac{X}{2}\right)}

Second cas : la caractéristique de $\mathbb{K$ $K$ est égale à 2.}

Dans ce cas, on a $1 + 1 = 0$ dans $\mathbb{K}$ . La matrice s'écrit toujours $M = \begin{pmatrix} A & A A & A \end{pmatrix}$ .

Calculons le carré de cette matrice par blocs :

M^2 = \begin{pmatrix} A^2 + A^2 & A^2 + A^2 A^2 + A^2 & A^2 + A^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2A^2 & 2A^2 2A^2 & 2A^2 \end{pmatrix}

Puisque $2 = 0$ dans $\mathbb{K}$ , on en déduit immédiatement :

\boxed{M^2 = 0}

La matrice $M$ est donc nilpotente. Son unique valeur propre est 0.

Comme $\chi_M$ est un polynôme de degré $2n$ dont la seule racine est 0, on conclut :

\boxed{\chi_M(X) = X^{2n}}

Attention à la manipulation du facteur $2^n$ lors du passage de $\det(XI - 2A)$ à $\chi_A$ . Rappelez-vous que pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $\det(\lambda M) = \lambda^n \det(M)$ .