Limite des puissances d'une matrice

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On suppose que la suite de matrices $(A^{k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Justifier que $M$ est la matrice d'un projecteur. En déduire que $M$ est diagonalisable.
On suppose dans cette question que $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ . Montrer que si $1$ n'est pas valeur propre de $M$ , alors la matrice $A$ est nilpotente.

1.

Pour la question 1, utiliser la continuité du produit matriciel et l'unicité de la limite en considérant la suite $(A^{2k})_{k \in \mathbb{N}}$ .

2.

Se rappeler qu'un projecteur est toujours diagonalisable car il annule un polynôme scindé à racines simples.

3.

Pour la question 2, identifier d'abord la matrice $M$ en utilisant le fait que ses seules valeurs propres possibles sont 0 et 1.

4.

Utiliser ensuite la structure discrète de $\mathbb{Z}$ : une suite d'entiers qui converge est stationnaire.

Idées clés

•

Utilisation de la relation de récurrence $A^{2k} = A^k \times A^k$ pour obtenir une équation sur la limite.

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Lien entre polynôme annulateur à racines simples et diagonalisabilité.

•

Propriété des suites à valeurs dans un ensemble discret (ici $\mathbb{Z}$ ou $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ).

Résolution.

Par hypothèse, la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $M$ . Considérons la suite extraite $(A^{2k})_{k \in \mathbb{N}}$ . Comme il s'agit d'une sous-suite d'une suite convergente, elle converge vers la même limite $M$ . Par ailleurs, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a la relation : $A^{2k} = A^k \times A^k$ L'application $(X, Y) \mapsto XY$ est bilinéaire en dimension finie, elle est donc continue. Par passage à la limite dans l'égalité précédente, nous obtenons : $M = M \times M = M^2$ La matrice $M$ vérifie l'équation $M^2 - M = 0$ . Ainsi, $M$ annule le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$ . $\boxed{ M \text{ est la matrice d'un projecteur.} }$ Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ (et même sur $\mathbb{R}$ ) et ses racines $\{0, 1\}$ sont simples. D'après le critère de diagonalisation par les polynômes annulateurs : $\boxed{ M \text{ est diagonalisable.} }$
Supposons que $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et que $1 \notin \text{Sp}(M)$ . D'après la question précédente, $M$ est un projecteur. Ses valeurs propres sont donc incluses dans l'ensemble $\{0, 1\}$ . Comme $1$ n'est pas valeur propre de $M$ par hypothèse, la seule valeur propre possible de $M$ est $0$ . Une matrice de projecteur dont la seule valeur propre est $0$ est nécessairement la matrice nulle. On a donc : $\boxed{ M = 0 }$ La suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge donc vers la matrice nulle. Notons $A^k = (a_{i,j}^{(k)})_{1 \le i,j \le n}$ . Pour chaque couple d'indices $(i,j)$ , la suite de coefficients $(a_{i,j}^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite d'entiers relatifs car $A$ est à coefficients entiers (le produit de matrices à coefficients entiers reste à coefficients entiers). Puisque $A^k \to 0$ , chaque suite de coefficients converge vers $0$ : $\forall (i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \lim_{k \to +\infty} a_{i,j}^{(k)} = 0$ Or, une suite d'entiers qui converge vers $0$ est stationnaire à $0$ à partir d'un certain rang. Il existe donc un entier $k_0$ tel que pour tout $k \ge k_0$ , tous les coefficients $a_{i,j}^{(k)}$ soient nuls. Ceci implique que : $\exists k_0 \in \mathbb{N}, A^{k_0} = 0$ $\boxed{ A \text{ est une matrice nilpotente.} }$

Attention à ne pas oublier que la limite d'une suite de matrices $A^k$ n'existe pas toujours (penser à une rotation d'angle $\pi/2$ ). L'existence de la limite impose des contraintes fortes sur le spectre de $A$ .