Multiplicité spectrale et normes de puissances

Résolution.

1. Bornitude de la suite des puissances. Par définition d'une norme d'algèbre, pour toutes matrices $B, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on a $N(BC) \leq N(B)N(C)$. Une récurrence immédiate montre que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $N(A^k) \leq N(A)^k$. Comme $N(A) \leq 1$, on en déduit :
   $$\forall k \in \mathbb{N},   N(A^k) \leq 1$$
   La suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est donc une suite bornée dans l'espace vectoriel de dimension finie $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
2. Analyse de la multiplicité spectrale via le polynôme minimal. Soit $\pi_A$ le polynôme minimal de $A$. Supposons par l'absurde que $1$ soit une racine de $\pi_A$ de multiplicité $m \geq 2$. On peut alors écrire $\pi_A = (X-1)^m Q$ avec $Q \in \mathbb{C}[X]$ et $Q(1) \neq 0$. D'après le lemme des noyaux, on a la décomposition suivante de l'espace $E = \mathbb{C}^n$ en sous-espaces stables par $A$ :
   $$\mathbb{C}^n = \ker(A-I)^m \oplus \ker Q(A)$$
   Considérons le sous-espace $V = \ker(A-I)^m$. Comme $m \geq 2$, le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par $A$ sur $V$ est $(X-1)^m$. En particulier, il existe un vecteur $x \in V$ tel que $(A-I)x \neq 0$ et $(A-I)^2 x = 0$.
3. Étude de la croissance de $A^k x$. Posons $y = (A-I)x$. Par construction $y \neq 0$ et $Ay = y$ (car $(A-I)y = 0$). Calculons $A^k x$ pour $k \in \mathbb{N}$ en utilisant la structure de binôme $A = I + (A-I)$ :
   $$A^k x = (I + (A-I))^k x = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (A-I)^j x$$
   Comme $(A-I)^2 x = 0$, les termes de la somme pour $j \geq 2$ sont nuls. Il reste :
   $$\boxed{ A^k x = x + k(A-I)x = x + ky }$$
4. Contradiction. Plaçons-nous dans une norme de vecteur $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{C}^n$. D'après l'inégalité triangulaire inversée :
   $$\|A^k x\| = \|x + ky\| \geq k\|y\| - \|x\|$$
   Comme $y \neq 0$, on a $\|y\| > 0$, donc :
   $$\lim_{k \to +\infty} \|A^k x\| = +\infty$$
   Or, toutes les normes en dimension finie sont équivalentes. La bornitude de $(A^k)$ dans $(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), N)$ implique l'existence d'une constante $C > 0$ telle que pour tout $k$ et tout vecteur $v$, $\|A^k v\| \leq C \|v\|$. Ceci est en contradiction flagrante avec la divergence de $\|A^k x\|$. Par conséquent, l'hypothèse $m \geq 2$ est fausse. La multiplicité de $1$ dans le polynôme minimal est donc au plus égale à $1$.