Projecteur comme valeur d'adhérence

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On suppose que la suite des puissances de $A$ , notée $\left(A^{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ , est une suite bornée de l'espace vectoriel normé $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Montrer qu'il existe une unique matrice de projecteur $P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ qui soit une valeur d'adhérence de la suite $\left(A^{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ .

1.

Commencer par caractériser les valeurs propres de $A$ et la nature du polynôme minimal à l'aide de l'hypothèse de bornitude.

2.

Utiliser le lemme des noyaux pour décomposer $\mathbb{C}^n$ en sous-espaces stables selon le module des valeurs propres (égales à 1 ou strictement inférieures à 1).

3.

Pour l'existence, considérer l'adhérence de l'ensemble des puissances d'une matrice diagonale dont les éléments sont de module 1 et montrer que cet ensemble contient l'identité.

4.

Pour l'unicité, examiner les valeurs propres possibles d'une valeur d'adhérence qui serait un projecteur.

Idées clés

•

Lien entre bornitude de $(A^k)$ et réduction : $\rho(A) \leq 1$ et les valeurs propres de module 1 sont des racines simples du polynôme minimal.

•

Utilisation de la décomposition de Dunford ou d'une forme diagonale par blocs.

•

Propriété des groupes compacts de matrices : l'adhérence d'un sous-groupe engendré par une matrice de module spectral 1 contient l'identité.

1. Analyse de la structure de $A$ .

Puisque la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée, ses valeurs propres $\lambda \in \text{Sp}(A)$ vérifient nécessairement $|\lambda| \leq 1$ .

De plus, si $|\lambda| = 1$ , alors $\lambda$ doit être un pôle simple du polynôme minimal de $A$ (sinon, les termes de la forme $\binom{k}{j}\lambda^{k-j}$ dans la réduction de Jordan ou les puissances de la partie nilpotente feraient diverger la norme de $A^k$ ).

Par le lemme des noyaux, on peut ainsi décomposer $\mathbb{C}^n$ en :

\mathbb{C}^n = \ker(A - I) \oplus \bigoplus_{\substack{\lambda \in \text{Sp}(A) \setminus \{1\} |\lambda| = 1}} \ker(A - \lambda I) \oplus E_{<1}

où $E_{<1}$ est la somme des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres de module strictement inférieur à 1.

Il existe donc une matrice inversible $Q \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que :

\boxed{ A = Q \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 0 & \Omega & 0 0 & 0 & B \end{pmatrix} Q^{-1} }

où :

$I_p$ est la matrice identité d'ordre $p = \dim(\ker(A-I))$ .
$\Omega = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_r)$ avec $|\lambda_j| = 1$ et $\lambda_j \neq 1$ .
$B$ est une matrice dont le rayon spectral vérifie $\rho(B) < 1$ , ce qui implique $B^k \xrightarrow{k \to \infty} 0$ .

2. Identification des valeurs d'adhérence.

Soit $M_k = \text{diag}(I_p, \Omega^k, B^k)$ . Les valeurs d'adhérence de $(A^k)$ sont de la forme :

L = Q \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 0 & \Omega_\infty & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}

où $\Omega_\infty$ est une valeur d'adhérence de la suite $(\Omega^k)_{k \in \mathbb{N}}$ .

Comme chaque $\lambda_j$ est de module 1, les éléments diagonaux de $\Omega_\infty$ sont également de module 1.

3. Existence du projecteur.

Considérons l'ensemble $G = \overline{ \{ \Omega^k, k \in \mathbb{N} \} }$ . C'est un sous-groupe compact de $GL_r(\mathbb{C})$ . En effet, il est fermé par construction et borné, donc compact. Il est stable par produit.

Pour tout $U \in G$ , la suite $(U^m)_{m \in \mathbb{N}}$ possède une valeur d'adhérence dans $G$ . Par un argument classique sur les semi-groupes compacts, cela implique que $G$ est un groupe.

En particulier, la matrice identité $I_r$ appartient à $G$ . Il existe donc une sous-suite $(k_m)$ telle que $\Omega^{k_m} \xrightarrow{m \to \infty} I_r$ . La valeur d'adhérence correspondante pour $A^k$ est :

\boxed{ P = Q \begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 0 & I_r & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1} }

On vérifie immédiatement que $P^2 = P$ , donc $P$ est un projecteur.

4. Unicité du projecteur.

Supposons que $L$ soit une valeur d'adhérence de $(A^k)$ qui soit un projecteur. D'après la forme générale trouvée au point 2, $L$ est semblable à $\text{diag}(I_p, \Omega_\infty, 0)$ .

Pour que $L$ soit un projecteur, il faut que $L^2 = L$ , soit :

\text{diag}(I_p, \Omega_\infty^2, 0) = \text{diag}(I_p, \Omega_\infty, 0) \implies \Omega_\infty^2 = \Omega_\infty

Or, les éléments diagonaux $\omega_j$ de $\Omega_\infty$ vérifient $\omega_j^2 = \omega_j$ , donc $\omega_j \in \{0, 1\}$ . Mais nous avons établi que $|\omega_j| = 1$ , ce qui impose $\omega_j = 1$ pour tout $j$ .

Ainsi, $\Omega_\infty = I_r$ , ce qui montre que :

\boxed{ L = P }

Le projecteur valeur d'adhérence est donc unique.

Ne pas oublier de traiter le cas des valeurs propres de module 1. Si on suppose seulement $\rho(A) \leq 1$ , la suite n'est pas forcément bornée (cas des blocs de Jordan de taille $>1$ ). L'énoncé assure la bornitude, ce qui garantit la diagonalisabilité pour les valeurs propres de module 1.