Convergence d'une moyenne de conjugués

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont de module $1$ . On considère une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ quelconque. Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on définit la suite $(U_k)_{k \geq 0}$ par :

U_{k} = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k} A^{i} M A^{-i}

Montrer que la suite $\left(U_{k}\right)_{k \geq 0}$ converge dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et déterminer sa limite en fonction des sous-espaces propres de $A$ .

1.

Commencer par réduire la matrice $A$ dans une base de diagonalisation.

2.

Exprimer le terme général de la somme dans cette base de travail.

3.

Étudier la convergence de chaque coefficient de la matrice à l'aide d'un argument de moyenne de Cesàro pour les suites géométriques.

4.

Interpréter la limite obtenue comme une somme de projections sur les sous-espaces propres.

Idées clés

•

Diagonalisation de $A$ pour simplifier les puissances $A^i$ .

•

Étude coefficient par coefficient après changement de base.

•

Utilisation de la convergence de la moyenne de Cesàro pour des termes de module 1.

Résolution.

La matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe donc une matrice inversible $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et une matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ telles que :

A = PDP^{-1}

Puisque les valeurs propres de $A$ sont de module $1$ , on a pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ , $|\lambda_j| = 1$ . En particulier, $A$ est inversible et $A^{-1} = P D^{-1} P^{-1}$ . On injecte cette décomposition dans l'expression de $U_k$ :

U_k = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k} (P D^i P^{-1}) M (P D^{-i} P^{-1})

En factorisant par $P$ et $P^{-1}$ , on obtient :

U_k = P \left( \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k} D^i (P^{-1} M P) D^{-i} \right) P^{-1}

Posons $N = P^{-1} M P$ . La matrice $V_k = D^i N D^{-i}$ a pour coefficients :

(V_k)_{r,s} = \lambda_r^i \cdot N_{r,s} \cdot \lambda_s^{-i} = \left( \frac{\lambda_r}{\lambda_s} \right)^i N_{r,s}

Par linéarité, le coefficient $(r,s)$ de la matrice $W_k = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k D^i N D^{-i}$ est :

(W_k)_{r,s} = N_{r,s} \cdot \left( \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k \left( \frac{\lambda_r}{\lambda_s} \right)^i \right)

Posons $\omega = \frac{\lambda_r}{\lambda_s}$ . Puisque $|\lambda_r| = |\lambda_s| = 1$ , on a $|\omega| = 1$ . Étudions la limite de la moyenne de Cesàro $\sigma_k(\omega) = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k \omega^i$ :

Cas 1 : $\lambda_r = \lambda_s$ . Alors $\omega = 1$ . La somme vaut $k+1$ , donc $\sigma_k(1) = 1 \to 1$ .
Cas 2 : $\lambda_r \neq \lambda_s$ . Alors $\omega \neq 1$ et $|\omega| = 1$ . La somme est une suite géométrique : $\sum_{i=0}^k \omega^i = \frac{1-\omega^{k+1}}{1-\omega}$ . On en déduit la majoration : $|\sigma_k(\omega)| \leq \frac{1}{k+1} \frac{|1| + |\omega^{k+1}|}{|1-\omega|} = \frac{2}{(k+1)|1-\omega|} \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$

Ainsi, la matrice $W_k$ converge vers une matrice diagonale par blocs $W_\infty$ dont les coefficients sont :

\boxed{(W_\infty)_{r,s} = \begin{cases} N_{r,s} & \text{si } \lambda_r = \lambda_s 0 & \text{sinon} \end{cases}}

Par continuité du produit matriciel, la suite $(U_k)$ converge vers $U_\infty = P W_\infty P^{-1}$ .

Interprétation de la limite.

Notons $\mu_1, \dots, \mu_p$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $E_1, \dots, E_p$ les sous-espaces propres associés. Soit $\Pi_j$ le projecteur sur $E_j$ parallèlement à $\bigoplus_{l \neq j} E_l$ . La décomposition spectrale de l'identité donne $I = \sum_{j=1}^p \Pi_j$ . Le calcul précédent montre que la limite $U_\infty$ est l'endomorphisme $u_\infty$ défini par :

\boxed{U_\infty = \sum_{j=1}^p \Pi_j M \Pi_j}

Attention à ne pas oublier que la convergence de $\frac{1}{k+1}\sum \omega^i$ vers $0$ nécessite $|\omega|=1$ avec $\omega \neq 1$ . Si $|\omega| > 1$ , la suite diverge grossièrement. Ici, l'hypothèse sur le module des valeurs propres est cruciale.