Convergence des puissances et structure algébrique

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice stochastique.

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente. On suppose que la suite $((I_n + N)^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée. Montrer que $N=0$ .
Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ de module $1$ . Montrer que le sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ , noté $C_\lambda(A)$ , est égal au sous-espace propre $E_\lambda(A)$ .
On suppose dans cette question que tous les coefficients de $A$ sont strictement positifs. Montrer que la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice de rang 1 dont toutes les lignes sont égales.
Donner un exemple de matrice stochastique telle que la suite $(A^k)$ diverge.

1.

Pour la question 1, utiliser le développement du binôme de Newton et considérer l'indice de nilpotence.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait que $(A^k)$ est bornée pour toute matrice stochastique.

3.

Pour la question 3, utiliser la décomposition de Dunford (ou la réduction de la matrice) et le fait que 1 est l'unique valeur propre de module 1 et qu'elle est simple.

Idées clés

•

Une matrice $M$ telle que $(M^k)$ est bornée a ses valeurs propres de module $\le 1$ , et celles de module 1 sont de multiplicité égale dans le polynôme minimal et le polynôme caractéristique (pas de blocs de taille $>1$ ).

•

Convergence des suites géométriques complexes.

Résolution.

Supposons $N \neq 0$ . Soit $p \ge 2$ l'indice de nilpotence de $N$ ( $N^p=0$ et $N^{p-1} \neq 0$ ). Pour $k \ge p-1$ , le binôme de Newton donne : $(I+N)^k = \sum_{j=0}^{p-1} \binom{k}{j} N^j = I + k N + \dots + \binom{k}{p-1} N^{p-1}$ Le terme prédominant en norme est $\binom{k}{p-1} N^{p-1}$ car c'est un polynôme en $k$ de degré $p-1$ . Comme $N^{p-1} \neq 0$ , la norme $\|(I+N)^k\|$ tend vers $+\infty$ quand $k \to +\infty$ . Par contraposée, si la suite est bornée, alors $p-1=0$ , donc $p=1$ et : $\boxed{N = 0}$
Soit $A$ une matrice stochastique. On remarque que pour tout $k$ , $A^k$ est encore stochastique (le produit de deux matrices stochastiques l'est). Comme les coefficients de $A^k$ sont dans $[0,1]$ , la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Soit $\lambda \in \text{Sp}(A)$ avec $|\lambda|=1$ . Dans une base adaptée à la décomposition de Dunford, la restriction de $A$ à $C_\lambda(A)$ s'écrit $\lambda I + N$ avec $N$ nilpotente. Alors la restriction de $A^k$ est $(\lambda I + N)^k = \lambda^k (I + \lambda^{-1} N)^k$ . Puisque $|\lambda|=1$ , la suite $(\lambda^k (I + \lambda^{-1} N)^k)$ est bornée si et seulement si $(I + \lambda^{-1} N)^k$ l'est. D'après la question 1, $\lambda^{-1} N = 0$ , donc $N=0$ . Ainsi : $\boxed{C_\lambda(A) = E_\lambda(A)}$
Si $A > 0$ , d'après l'exercice précédent, $\text{Sp}(A) \cap \mathbb{U} = \{1\}$ et $\dim E_1(A) = 1$ . De plus, d'après la question 2, la multiplicité de $1$ dans le polynôme minimal est 1. On peut donc écrire $A$ sous la forme $A = P \text{diag}(1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) P^{-1}$ avec $|\lambda_i| < 1$ pour $i \ge 2$ (en passant éventuellement par une forme trigonalisée puisque $C_{\lambda_i}$ peut avoir une dimension $>1$ , mais les blocs de Jordan sont de taille 1 pour $|\lambda|=1$ et les autres puissances tendent vers 0). Alors $A^k = P \text{diag}(1, \lambda_2^k, \dots, \lambda_n^k) P^{-1} \xrightarrow[k \to +\infty]{} P \text{diag}(1, 0, \dots, 0) P^{-1} = L$ . La matrice $L$ est de rang 1. Comme $A^k U = U$ , on a $LU = U$ , et comme les lignes de $A^k$ somment à 1, celles de $L$ aussi. $\boxed{A^k \to L \text{ avec } \text{rg}(L)=1}$
Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . $A$ est stochastique. On a $A^{2k} = I_2$ et $A^{2k+1} = A$ . La suite $(A^k)$ diverge.

Ne pas dire que $A$ est diagonalisable. Elle l'est pour les valeurs propres de module 1, mais elle peut avoir des blocs de Jordan pour des valeurs propres de module strictement inférieur à 1. Cependant, ces blocs tendent vers 0.