Adhérence et intérieur des matrices de torsion

On considère dans l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ ( $n \geq 1$ ) l'ensemble $\mathcal{S}$ des matrices de torsion défini par :

\mathcal{S} = \left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \mid \exists p \in \mathbb{N}^{*}, M^{p}=I_{n}\right\}

Déterminer l'adhérence

\overline{\mathcal{S}}

et l'intérieur

\mathring{\mathcal{S}}

de cet ensemble.

1.

Caractériser les éléments de $\mathcal{S}$ en termes de diagonalisabilité et de spectre.

2.

Utiliser la continuité des racines d'un polynôme par rapport à ses coefficients pour l'adhérence.

3.

Pour la densité, penser aux matrices triangulaires supérieures à valeurs propres distinctes.

4.

Pour l'intérieur, considérer une perturbation de la norme des valeurs propres ou utiliser la continuité du déterminant.

Idées clés

•

Une matrice $M$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si elle est diagonalizable et si son spectre est inclus dans l'ensemble des racines de l'unité $\mathbb{U}_{\infty} = \{ e^{i 2\pi q}, q \in \mathbb{Q} \}$ .

•

L'ensemble des racines de l'unité est dense dans le cercle unité $\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C}, |z| = 1 \}$ .

•

La densité des matrices à valeurs propres distinctes simplifie les preuves d'adhérence.

1. Caractérisation des éléments de $\mathcal{S$ $S$ .}

Soit $M \in \mathcal{S}$ . Il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $M^p - I_n = 0$ . Le polynôme $P(X) = X^p - 1$ est un polynôme annulateur de $M$ .

Comme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ (les racines sont les $\exp\left(\frac{2ik\pi}{p}\right)$ ), la matrice $M$ est diagonalisable. De plus, ses valeurs propres sont nécessairement des racines de l'unité.

Réciproquement, si $M$ est diagonalisable et ses valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont dans $\mathbb{U}_{\infty}$ , alors pour chaque $i$ , il existe $p_i$ tel que $\lambda_i^{p_i} = 1$ . En posant $p = \text{ppcm}(p_1, \dots, p_n)$ , on a $\lambda_i^p = 1$ pour tout $i$ , donc $D^p = I_n$ (où $D$ est la forme diagonale), et par similitude $M^p = I_n$ .

\boxed{M \in \mathcal{S} \iff M \text{ est diagonalisable et } \text{Sp}(M) \subset \mathbb{U}_{\infty}}

2. Détermination de l'adhérence $\overline{\mathcal{S$ } $\overline{S}$ .}

Soit $\mathcal{E} = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid \text{Sp}(M) \subset \mathbb{U} \}$ . Montrons que $\overline{\mathcal{S}} = \mathcal{E}$ .

Inclusion $\overline{\mathcal{S$ } \subset \mathcal{E} $\overline{S} \subset E$ :} L'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est continue. De plus, les racines d'un polynôme dépendent continûment de ses coefficients. Si $(M_k)$ est une suite de $\mathcal{S}$ convergeant vers $M$ , les valeurs propres de $M_k$ (qui sont dans $\mathbb{U}_{\infty} \subset \mathbb{U}$ ) convergent vers les valeurs propres de $M$ . Comme $\mathbb{U}$ est fermé dans $\mathbb{C}$ , on en déduit que $\text{Sp}(M) \subset \mathbb{U}$ . Ainsi $M \in \mathcal{E}$ .

Inclusion $\mathcal{E$ \subset \overline{\mathcal{S}} $E \subset \overline{S}$ :} Soit $M \in \mathcal{E}$ . $M$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et $T$ triangulaire supérieure telle que $M = PTP^{-1}$ . Les coefficients diagonaux $t_{ii}$ de $T$ sont les valeurs propres de $M$ , donc $|t_{ii}| = 1$ .

Puisque $\mathbb{U}_{\infty}$ est dense dans $\mathbb{U}$ , on peut choisir pour chaque $k \in \mathbb{N}^*$ des complexes $\mu_{i,k} \in \mathbb{U}_{\infty}$ tels que :

$\forall i \in \{1, \dots, n\}, \mu_{i,k} \xrightarrow[k \to +\infty]{} t_{ii}$
Pour $k$ fixé, les $(\mu_{i,k})_{1 \leq i \leq n}$ sont deux à deux distincts (possible par densité).

On pose alors $T_k$ la matrice triangulaire dont la diagonale est $(\mu_{i,k})$ et dont les coefficients hors-diagonale sont ceux de $T$ . Comme $T_k$ possède $n$ valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. Ses valeurs propres étant dans $\mathbb{U}_{\infty}$ , on a $T_k \in \mathcal{S}$ . Par continuité de la similitude, $M_k = P T_k P^{-1}$ appartient à $\mathcal{S}$ et converge vers $M$ .

\boxed{\overline{\mathcal{S}} = \{ M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \mid \forall \lambda \in \text{Sp}(M), |\lambda| = 1 \}}

3. Détermination de l'intérieur $\mathring{\mathcal{S$ } $\overset{˚}{S}$ .}

Soit $M \in \mathcal{S}$ . Considérons la suite de matrices $M_k = \left(1 + \frac{1}{k}\right) M$ . Clairement, $M_k \xrightarrow[k \to +\infty]{} M$ .

Cependant, pour tout $k \geq 1$ , si $\lambda$ est une valeur propre de $M$ , alors $\left(1 + \frac{1}{k}\right)\lambda$ est une valeur propre de $M_k$ . On a $|\lambda| = 1$ , donc $|\left(1 + \frac{1}{k}\right)\lambda| = 1 + \frac{1}{k} > 1$ . Les valeurs propres de $M_k$ ne sont pas dans $\mathbb{U}_{\infty}$ , donc $M_k \notin \mathcal{S}$ .

Tout voisinage de $M$ contient des matrices n'appartenant pas à $\mathcal{S}$ . On en déduit :

\boxed{\mathring{\mathcal{S}} = \emptyset}

Ne pas oublier que les éléments de $\mathcal{S}$ sont obligatoirement diagonalisables. Cependant, dans l'adhérence, cette propriété peut être perdue (une matrice nilpotente peut être limite de matrices diagonalisables, ici une matrice avec une partie nilpotente peut être limite de matrices de $\mathcal{S}$ ).